O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são:
de
chamadas
(x)
0 1 2 3 4 5
p\left(x_{i}\right) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02
a) Calcular F(2).
b) Determinar P(1 \leq x \leq 4) e P(x>1).
c) Qual é o número de chamadas em um minuto?
d) O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média. Avalie o coeficiente de variação para essa distribuição.

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade discreta do número de chamadas X em um minuto, com valores possíveis 0,1,2,3,4,5 e respectivas probabilidades. O que precisamos:
  • Calcular a função de distribuição acumulada em x=2, ou seja \displaystyle F(2)=P(X\le2).
  • Calcular P(1\le X\le4) e P(X>1).
  • Encontrar a média \mu=E[X].
  • Calcular o coeficiente de variação \displaystyle \frac{\sigma}{\mu}, onde \sigma é o desvio padrão.

Passo 2

Para obter
F(2)=P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
somamos as probabilidades dadas:
F(2)=0,55+0,25+0,10=0,90.

Passo 3

Primeiro,
P(1\le X\le4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
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P(1\le X\le4)=0,25+0,10+0,04+0,04=0,43.
Em seguida,
P(X>1)=1-P(X\le1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr)
P(X>1)=1-(0,55+0,25)=1-0,80=0,20.

Passo 4

Para a média usamos a definição
E[X]=\sum_{x=0}^{5}x\,P(X=x).
Logo
E[X]=0\cdot0,55+1\cdot0,25+2\cdot0,10+3\cdot0,04+4\cdot0,04+5\cdot0,02=0,83.

Passo 5

Calculamos primeiro E[X^2]:
E[X^2]=\sum_{x=0}^{5}x^2\,P(X=x) =0^2\cdot0,55+1^2\cdot0,25+2^2\cdot0,10+3^2\cdot0,04+4^2\cdot0,04+5^2\cdot0,02=2,15.
A variância é
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2=2,15-(0,83)^2=2,15-0,6889=1,4611.
O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{1,4611}\approx1,2096.
Finalmente, o coeficiente de variação é
\frac{\sigma}{\mu}=\frac{1,2096}{0,83}\approx1,46.

Resposta

a) F(2)=0,90
b) P(1\le X\le4)=0,43 e P(X>1)=0,20
c) E[X]=0,83 chamadas por minuto
d) \displaystyle\frac{\sigma}{\mu}\approx1,46

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