Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores conforme a distribuição de probabilidade:
x_{i} 1 2 3 5 8
p\left(x_{i}\right) 0,20 0,25 \ldots 0,30 0,10
a) Encontrar o valor de p(3).
b) Qual é o valor da função acumulativa para x=5 ?
c) Encontrar a média da distribuição.
d) Calcular a variância e o desvio padrão

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória discreta X que assume os valores
x_i \in \{1,2,3,5,8\}
com probabilidades
p(1)=0,20,\quad p(2)=0,25,\quad p(3)=\ldots,\quad p(5)=0,30,\quad p(8)=0,10.
Precisamos:
– (a) determinar p(3) usando que a soma das probabilidades é 1;
– (b) calcular a função de distribuição acumulada em x=5, isto é, F(5)=P(X\le5);
– (c) encontrar a esperança \mathbb{E}[X];
– (d) obter a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão \sigma_X, usando \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2.

Passo 2

Para achar p(3), usamos
\sum_i p(x_i)=1
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p(3)=1 - \bigl(p(1)+p(2)+p(5)+p(8)\bigr) =1 - (0,20+0,25+0,30+0,10) =1 - 0,85 =0,15.

Passo 3

A função acumulada em x=5 é
F(5)=P(X\le5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(5) =0,20+0,25+0,15+0,30 =0,90.

Passo 4

A média é
\mathbb{E}[X] =\sum_i x_i\,p(x_i) =1\cdot0,20 + 2\cdot0,25 + 3\cdot0,15 + 5\cdot0,30 + 8\cdot0,10 =3,45.

Passo 5

Primeiro calculamos \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2] =\sum_i x_i^2\,p(x_i) =1^2\cdot0,20 + 2^2\cdot0,25 + 3^2\cdot0,15 + 5^2\cdot0,30 + 8^2\cdot0,10 =16,45.
Então
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 =16,45 - (3,45)^2 =16,45 - 11,9025 =4,5475.
O desvio padrão é
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{4,5475} \approx2,13.

Resposta

a) p(3)=0,15
b) F(5)=0,90
c) \mathbb{E}[X]=3,45
d) \mathrm{Var}(X)=4,5475, \sigma_X\approx2,13

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