Para o número complexo
que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade
, sejam
os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de
é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá o lugar geométrico
que é o disco de centro
e raio
no plano complexo. Queremos os valores máximo e mínimo do argumento de
, ou seja,
e
. Vamos usar geometria de círculos e as tangentes traçadas da origem ao círculo.
Passo 2
A distância do centro
até a origem
é
Como
, da origem podemos traçar duas tangentes ao círculo, que determinam os argumentos extremos.
Passo 3
Seja
o ângulo entre a reta
e cada tangente. Pela propriedade das tangentes a um círculo do ponto externo, vale
Passo 4
A direção da reta
em relação ao eixo real é
. Logo os argumentos extremos são
e a diferença desejada é
Passo 5
Como
, temos
logo
Resposta
(D)