Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade |z-26 i| <= 10, sejam alpha1 e alpha2 os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de |alpha1-alpha2| é
(A) pi-tan ^-1(512)
(B) 2 cdot tan ^-1(513)
(C) tan ^-1(513)
(D) 2 cdot tan ^-1(512)
(E) 2 cdot tan ^-1(125)

Passo 1

O enunciado nos dá o lugar geométrico
|z - 26,i| <= 10
que é o disco de centro C=(0,26) e raio R=10 no plano complexo. Queremos os valores máximo e mínimo do argumento de z, ou seja, alpha1=maxarg z e alpha2=minarg z. Vamos usar geometria de círculos e as tangentes traçadas da origem ao círculo.

Passo 2

A distância do centro C até a origem O é
d = |26,i| = 26
Como d>R, da origem podemos traçar duas tangentes ao círculo, que determinam os argumentos extremos.

Passo 3

Seja phi o ângulo entre a reta OC e cada tangente. Pela propriedade das tangentes a um círculo do ponto externo, vale
sinphi = Rd = 1026 = 513

Passo 4

A direção da reta OC em relação ao eixo real é pi/2. Logo os argumentos extremos são
alpha1 = pi2 + phi, alpha2 = pi2 - phi,
e a diferença desejada é
|alpha1 - alpha2| = 2phi

Passo 5

Como sinphi = 5/13, temos
cosphi = raiz1 - l(513r)^2 = 1213, tanphi = sinphicosphi = 5/121 = 512,
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phi = tan^-1!l(512r) Longrightarrow |alpha1 - alpha2| = 2,phi = 2;tan^-1!l(512r)

Resposta

(D) 2 cdot tan^-1!l(tfrac512r)

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