Se z é um número complexo tal que o seu módulo e argumento principal são respectivamente iguais a 1 e \frac{\pi}{15} \mathrm{rad}. Sabendo que a matriz quadrada M é
M=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \frac{z^{2}+z-1}{z} & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & \frac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}} & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & \frac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}} \end{array}\right|, \text { então o }ã
valor absoluto do det \left(2 \cdot M \cdot M^{\top}\right) é igual a:
A) 1
B) 4
C) 8
D) 16
E) 64

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • É dado um número complexo z com módulo e argumento principal respectivamente: |z|=1,\qquad \arg(z)=\frac{\pi}{15}.
  • A matriz quadrada M é M=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \dfrac{z^{2}+z-1}{z} & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & \dfrac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}} & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & \dfrac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}} \end{vmatrix}.(Aqui cada elemento da diagonal é indicado; os elementos fora da diagonal são todos 1.)
  • O que se pede: o valor absoluto do determinante \left|\det\!\big(2\cdot M\cdot M^{\top}\big)\right|.
    As alternativas são 1,4,8,16,64.

Passo 2

Usar propriedades de determinante para simplificar o problema antes de calcular explicitamente \det(M).
Lembrando as propriedades importantes (explicadas de forma direta):
  • Para qualquer matriz quadrada A de ordem n e número real k vale \det(kA)=k^{n}\det(A). Aqui n=4.
  • Para matrizes quadradas A,B compatíveis vale \det(AB)=\det(A)\det(B).
  • Para qualquer matriz quadrada A vale \det(A^{\top})=\det(A).
Aplicando isso a \det\!\big(2\cdot M\cdot M^{\top}\big):
\det\!\big(2\cdot M\cdot M^{\top}\big)=\det(2I_{4})\det(M)\det(M^{\top}) =2^{4}\det(M)\det(M^{\top}) =16\det(M)^{2},
porque \det(M^{\top})=\det(M). Portanto
\left|\det\!\big(2 M M^{\top}\big)\right|=16\;|\det(M)|^{2}.
Logo basta calcular |\det(M)|.

Passo 3

Calcular \det(M) por operações elementares (subtração de linha) — explicando por que é válido:
  • Subtrair a primeira linha das linhas 2,3,4 não altera o determinante (soma de múltiplos de outra linha é operação elementar com determinante inalterado).
  • Depois dessa operação, a matriz fica triangular inferiormente com entradas fáceis de ler, permitindo o cálculo direto do determinante.
Façamos a operação: para i=2,3,4 substitui-se R_i \leftarrow R_i - R_1. Então a matriz resultante tem linhas:
  • R_1=[1\;1\;1\;1].
  • Para i=2 (segunda linha), as entradas ficam: [1-1,\\ \tfrac{z^{2}+z-1}{z}-1,\\\ 1-1,\\\ 1-1] = [0,\\ a-1,\\\ 0,\\\ 0],onde definimos a=\dfrac{z^{2}+z-1}{z}.
  • Para i=3: [0,\\\ 0,\\ b-1,\\\ 0],\quad b=\dfrac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}}.
  • Para i=4: [0,\\\ 0,\\\ 0,\\ c-1],\quad c=\dfrac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}}.
A matriz transformada é então
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & a-1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b-1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & c-1 \end{pmatrix}.
Como essa operação não alterou o determinante, o determinante de M é o produto das entradas da diagonal desta matriz:
\det(M)=(1)\,(a-1)\,(b-1)\,(c-1).]

Passo 4

Expressar a-1, b-1, c-1 de forma mais simples em termos de potências de z.
Calcule cada um:
a-1=\frac{z^{2}+z-1}{z}-1=\frac{z^{2}+z-1-z}{z}=\frac{z^{2}-1}{z}=z-\frac{1}{z}.
b-1=\frac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}}-1=\frac{z^{8}+z^{4}-1-z^{4}}{z^{4}}=\frac{z^{8}-1}{z^{4}}=z^{4}-\frac{1}{z^{4}}.
c-1=\frac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}}-1=\frac{z^{6}+z^{3}+1-z^{3}}{z^{3}}=\frac{z^{6}+1}{z^{3}}=z^{3}+\frac{1}{z^{3}}.
Portanto
\det(M)=\Big(z-\frac{1}{z}\Big)\Big(z^{4}-\frac{1}{z^{4}}\Big)\Big(z^{3}+\frac{1}{z^{3}}\Big).

Passo 5

Usar que |z|=1 e escrever z em forma polar para transformar as expressões em funções trigonométricas.
Como |z|=1 e \arg(z)=\dfrac{\pi}{15}, podemos escrever
z=e^{i\theta},\qquad \theta=\frac{\pi}{15}.
Para k\in\mathbb{Z} tem-se z^{k}=e^{ik\theta} e z^{-k}=e^{-ik\theta}=\overline{z^{k}}.
Agora avaliar magnitudes:
\left|z^{k}-z^{-k}\right|=\left|e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}\right|=|2i\sin(k\theta)|=2\big|\sin(k\theta)\big|,
\left|z^{k}+z^{-k}\right|=\left|e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}\right|=|2\cos(k\theta)|=2\big|\cos(k\theta)\big|.
Aplicando a \det(M):
|\det(M)|=\big|z-z^{-1}\big|\;\big|z^{4}-z^{-4}\big|\;\big|z^{3}+z^{-3}\big| =2\big|\sin(\theta)\big|\cdot 2\big|\sin(4\theta)\big|\cdot 2\big|\cos(3\theta)\big|.
Como os ângulos considerados são pequenos e positivos aqui, as funções seno e cosseno têm os sinais conhecidos; portanto podemos remover os valores absolutos sabendo os sinais:
|\det(M)|=8\sin(\theta)\sin(4\theta)\big|\cos(3\theta)\big|.
Com \theta=\dfrac{\pi}{15} temos 3\theta=\dfrac{\pi}{5} e \cos(3\theta)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)>0, logo
|\det(M)|=8\sin\!\big(\tfrac{\pi}{15}\big)\sin\!\big(\tfrac{4\pi}{15}\big)\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big).

Passo 6

Simplificar a expressão trigonométrica usando identidades (aqui uma identidade produto-para-soma útil).
Usar a identidade
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Com A=\tfrac{\pi}{15} e B=\tfrac{4\pi}{15} temos A-B=-\tfrac{3\pi}{15}=-\tfrac{\pi}{5} e A+B=\tfrac{5\pi}{15}=\tfrac{\pi}{3}. Então
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{15}\big)\sin\!\big(\tfrac{4\pi}{15}\big) =\tfrac{1}{2}\big(\cos\!\big(-\tfrac{\pi}{5}\big)-\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)\big).
Como \cos é par e \cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}, isto é
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{15}\big)\sin\!\big(\tfrac{4\pi}{15}\big) =\tfrac{1}{2}\big(\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)-\tfrac{1}{2}\big).
Multiplicando por \cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big) e pelo fator 8 que tínhamos:
|\det(M)|=8\cdot \tfrac{1}{2}\big(\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)-\tfrac{1}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big) =4\Big(\cos^{2}\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)-\tfrac{1}{2}\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)\Big).

Passo 7

Usar um valor exato conhecido para \cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)=\cos 36^\circ para simplificar completamente.
É sabido (ou pode ser deduzido resolvendo o polinômio do cosseno de 36^\circ) que
\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.
Denotando c=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{5}\big) calculamos
c^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}.
Agora
c^{2}-\tfrac{1}{2}c=\frac{3+\sqrt{5}}{8}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{4} =\frac{3+\sqrt{5}}{8}-\frac{1+\sqrt{5}}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Portanto
|\det(M)|=4\cdot\frac{1}{4}=1.

Passo 8

Concluir o valor pedido usando o Passo 2:
\left|\det\!\big(2 M M^{\top}\big)\right|=16\;|\det(M)|^{2}=16\cdot 1^{2}=16.

Resposta

D) 16

Exercícios relacionados