Se z é um número complexo tal que o seu módulo e argumento principal são respectivamente iguais a 1 e \frac{\pi}{15} \mathrm{rad}. Sabendo que a matriz quadrada M é
valor absoluto do det \left(2 \cdot M \cdot M^{\top}\right) é igual a:
A) 1
B) 4
C) 8
D) 16
E) 64
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
É dado um número complexo z com módulo e argumento principal respectivamente:|z|=1,\qquad \arg(z)=\frac{\pi}{15}.
A matriz quadrada M éM=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \dfrac{z^{2}+z-1}{z} & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & \dfrac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}} & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & \dfrac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}} \end{vmatrix}.(Aqui cada elemento da diagonal é indicado; os elementos fora da diagonal são todos 1.)
O que se pede: o valor absoluto do determinante \left|\det\!\big(2\cdot M\cdot M^{\top}\big)\right|.
As alternativas são 1,4,8,16,64.
Passo 2
Usar propriedades de determinante para simplificar o problema antes de calcular explicitamente \det(M).
Lembrando as propriedades importantes (explicadas de forma direta):
Para qualquer matriz quadrada A de ordem n e número real k vale \det(kA)=k^{n}\det(A). Aqui n=4.
Para matrizes quadradas A,B compatíveis vale \det(AB)=\det(A)\det(B).
Para qualquer matriz quadrada A vale \det(A^{\top})=\det(A).
Aplicando isso a \det\!\big(2\cdot M\cdot M^{\top}\big):
\left|\det\!\big(2 M M^{\top}\big)\right|=16\;|\det(M)|^{2}.
Logo basta calcular |\det(M)|.
Passo 3
Calcular \det(M) por operações elementares (subtração de linha) — explicando por que é válido:
Subtrair a primeira linha das linhas 2,3,4 não altera o determinante (soma de múltiplos de outra linha é operação elementar com determinante inalterado).
Depois dessa operação, a matriz fica triangular inferiormente com entradas fáceis de ler, permitindo o cálculo direto do determinante.
Façamos a operação: para i=2,3,4 substitui-se R_i \leftarrow R_i - R_1. Então a matriz resultante tem linhas:
R_1=[1\;1\;1\;1].
Para i=2 (segunda linha), as entradas ficam:[1-1,\\ \tfrac{z^{2}+z-1}{z}-1,\\\ 1-1,\\\ 1-1] = [0,\\ a-1,\\\ 0,\\\ 0],onde definimos a=\dfrac{z^{2}+z-1}{z}.
Para i=3:[0,\\\ 0,\\ b-1,\\\ 0],\quad b=\dfrac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}}.
Para i=4:[0,\\\ 0,\\\ 0,\\ c-1],\quad c=\dfrac{z^{6}+z^{3}+1}{z^{3}}.
Como os ângulos considerados são pequenos e positivos aqui, as funções seno e cosseno têm os sinais conhecidos; portanto podemos remover os valores absolutos sabendo os sinais: