O método de Newton pode não ser convergente. Verifique que, para
com estimativia inicial
, o método não funciona.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se verifique que, com estimativa inicial
, o método de Newton “não funciona” (isto é, não converge para a raiz). Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Estimativa inicial:
. - Objetivo: aplicar o método de Newton e mostrar que ele não converge (ou que falha) a partir dessa inicialização.
Passo 2
Vou relembrar o que é o método de Newton e a fórmula que usarei. O método de Newton gera uma sequência
dada por
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada da função nessa aproximação; - A ideia é linearizar a função em torno de
e tomar a interseção dessa reta tangente com o eixo como próxima aproximação.
Condições intuitivas para convergência: a inicialização deve estar “próxima” de uma raiz simples (onde
) e a função/deivada devem ser razoavelmente bem comportadas no entorno. Se a derivada for muito pequena, o passo
pode ser muito grande e o método pode falhar.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Temos
Usando regra do produto e derivada de
:
Portanto
Passo 4
Analisar as raízes de
para entender qual raiz o método deveria encontrar.
- Para
temos , logo . Assim não existem raízes positivas. - Para
a quantidade é negativa e pode igualar . De fato existe exatamente uma raiz real negativa. Usando a função e a função (ou a função de Lambert) obtém-se aproximadamente a raiz
ou seja, a raiz é pequena e negativa (bem próxima de zero). Conclusão: a raiz real está em
.
Portanto, a inicial
está longe e está do lado positivo, onde
.
Passo 5
Mostrar um comportamento geral para pontos
. Se
então:
-
(já observado para ); -
porque e .
Logo, para
temos
e
. Então o quociente
é negativo, e
ou seja, o método produz um novo ponto maior que o anterior: a sequência cresce enquanto estiver com termos
. Isso já indica que, partindo de
, os termos ficam maiores e jamais se aproximam da raiz negativa. Se a sequência convergisse para um limite finito
com
, este limite deveria satisfazer
, o que é impossível (não há raízes
). Logo a sequência não pode convergir para a raiz real.
Passo 6
Agora calculo iterativamente os primeiros termos a fim de ver o comportamento numérico (vou mostrar as contas passo a passo e aproximar com 3 casas decimais quando apropriado).
Começando com
.
Calcular e
:
Calcular
O passo de Newton é
Passo 7
Calcular
a partir de
.
Primeiro
. Aproximação:
então
Portanto
Observação: já se vê que os termos aumentaram muito: de
para
para
.
Passo 8
Calcular
rapidamente para visualizar o salto seguinte (apenas ordem de grandeza é suficiente para entender o comportamento).
Para
temos
extremamente pequeno, da ordem de
. Especificamente,
então
O quociente
Logo
Ou seja, um salto enorme para algo da ordem de
. A partir daí, para
grande,
é praticamente
e
enquanto
é extremamente pequeno (em módulo), por isso
fica gigantesco (em módulo) e os saltos ficam absurdos: a sequência explode e não se aproxima da raiz.
Passo 9
Conclusão teórica e numérica do porquê o método “não funciona” com
:
- Teoricamente: para todo
tem-se e , portanto os iterados satisfazem . A sequência cresce e, se convergisse para algum limite finito , então deveria valer — o que é impossível, pois a única raiz real é negativa. Logo não há convergência para a raiz. - Numericamente: os primeiros iterados mostram crescimento rápido:
e daí em diante os saltos ficam enormes. O fator causador é que para grande temos (não zero) e muito próximo de , fazendo enorme e o passo de Newton explodir.
Portanto, com a inicial
o método de Newton não converge (a sequência diverge para
, fazendo com que o método “não funcione”).
Resposta
O método de Newton não converge a partir de
;
,
,
e a sequência diverge (tende a
).