Considerando a função
, encontre aproximações para a raiz que se encontra no intervalo
, para
, pelos métodos de Newton e secante. Para o método de Newton, utilize
como estimativa inicial.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a raiz de
que está no intervalo
, usando dois métodos numéricos: o método de Newton e o método da secante. A tolerância solicitada é
. Foi dada a estimativa inicial para Newton
. Não foi dada estimativa inicial para a secante, então usarei as extremidades do intervalo:
e
.
Informações fornecidas e claras:
- Função:
. - Intervalo que contém a raiz:
. - Tolerância:
. - Newton:
. - Secante: usarei
e .
O objetivo final é fornecer aproximações da raiz obtidas por cada método que satisfaçam o critério de parada com
.
Passo 2
Breve aula-prática sobre o método de Newton (passo a passo didático).
- Ideia: a cada iteração aproximamos
por sua reta tangente em e intersectamos essa reta com o eixo . A fórmula é
- Aqui as variáveis significam:
-
: aproximação atual da raiz. -
: valor da função em . -
: derivada de em . -
: nova aproximação.
-
- Critério de parada que vou usar (comum em provas): parar quando a diferença entre duas iterações consecutivas ficar menor que
, isto é quando
- Primeiro precisamos da derivada de
. Calculemos:
Logo
.
Observação prática: substituindo
e
na fórmula de Newton obtém-se uma forma simples:
Isso facilita muito as contas: para cada iteração basta calcular
e dividir
por esse valor.
Passo 3
Aplicando o método de Newton com
. Vou mostrar as iterações e os cálculos numéricos aproximados (mantendo casas suficientes para o critério
).
Iteração 0 → 1:
Diferença:
. Ainda não converge.
Passo 4
Iteração 1 → 2:
Diferença:
. Ainda não.
Passo 5
Iteração 2 → 3:
Diferença:
.
Portanto o critério é satisfeito aqui. Conclusão: o método de Newton convergiu em três iterações (contando a transformação
como primeira) para a aproximação
Portanto o critério
(esse valor é, claro,
com precisão suficiente).
Passo 6
Agora a aula-prática sobre o método da secante (passo a passo).
- Ideia: aproxima-se a derivada por uma diferença finita usando duas aproximações anteriores
, obtendo a reta secante e sua interseção com o eixo . A fórmula é
- Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações, -
e são os respectivos valores da função, -
é a nova aproximação.
-
- Critério de parada: uso o mesmo que antes,
- Escolhi
e (extremos do intervalo). Para aplicar a fórmula preciso calcular nesses pontos; lembre-se .
Valores iniciais:
Passo 7
Iterações do método da secante (cálculos detalhados):
Iteração usando
e
para obter
:
Denominador
. Assim
Calculei
. Valor de
:
Iteração seguinte (usando
e
) para obter
:
Calculando dá aproximadamente
. Valor de
:
Iteração seguinte (usando
e
) para obter
:
Valor de
fica aproximadamente
.
Próxima iteração (usando
e
) para obter
:
Diferença
, ainda não suficiente.
Próxima iteração (usando
e
) para obter
:
- Avaliando
obtemos algo da ordem de . - Aplicando a fórmula da secante obtemos
Diferença
. Logo o critério é satisfeito.
Resumo das iterações da secante: a sequência
converge para o mesmo valor (novamente
) e o critério
foi atingido em torno da sexta iteração.
Passo 8
Observação final e interpretação: ambos os métodos convergiram para a mesma raiz dentro da tolerância pedida; a raiz é a solução exata de
, ou seja
. Newton foi mais rápido (convergência em 3 iterações a partir de
); a secante também convergiu (em cerca de 6 iterações com
e
).
Resposta
Newton:
Secante: