O número de defeitos de apresentação em rádios, por unidade, produzidos por uma linha de montagem, é uma variável aleatória discreta dada por:
Número de defeitos 0 1 2 3 4 5 6 7
Probabilidade de defeitos na produção dos <br> rádios 0,25 0,35 0,18 0,13 0,04 0,02 0,02 0,01
Determinar o percentil 78 .

Passo 1

Então, o problema diz que a gente tem uma variável aleatória discreta X = “número de defeitos por rádio” que pode valer de 0 até 7, e já vem com as probabilidades pra cada valor:
x 0 1 2 3 4 5 6 7
P(X=x) 0{,}25 0{,}35 0{,}18 0{,}13 0{,}04 0{,}02 0{,}02 0{,}01
A tarefa é encontrar o percentil 78 dessa distribuição.
Conteúdo envolvido:
  • Distribuição de probabilidade discreta
  • Função de distribuição acumulada (FDC)
  • Definição de percentil em variáveis discretas
O que precisaremos fazer: calcular a FDC acumulando as probabilidades até passar de 0,78.

Passo 2

O que é percentil 78?
Em geral, para uma variável discreta X, o percentil de ordem p (aqui p = 78%) é o menor valor xₚ tal que a função de distribuição acumulada F(xₚ) seja pelo menos p:
F(x) ;=; P(X <= x) e x78 = minx:,F(x)>= 0,78,
Isso significa “quantos defeitos a gente precisa para já ter, no mínimo, 78% dos rádios com esse número de defeitos ou menos”.

Passo 3

Vamos montar a FDC passo a passo somando as probabilidades do 0 até cada valor k:
  1. Para k = 0:
    F(0) = P(X<=0) = P(X=0) = 0,25
  2. Para k = 1:
    F(1) = P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1) = 0,25 + 0,35 = 0,60
  3. Para k = 2:
    F(2) = P(X<=2) = F(1) + P(X=2) = 0,60 + 0,18 = 0,78
  4. Para k = 3 (só pra confirmar):
    F(3) = F(2) + P(X=3) = 0,78 + 0,13 = 0,91

Passo 4

Agora, procuramos o menor k tal que F(k) ≥ 0,78 .
  • Em k=1, F(1)=0,60 (< 0,78), não serve.
  • Em k=2, F(2)=0,78 (≥ 0,78), atende ao critério.
Então o percentil 78 é k = 2.

Resposta

O percentil 78 da distribuição é 2.

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