Que número devemos adicionar a 1, 3 e 6 para que formemos, nesta ordem, uma P.G.?

Passo 1

O enunciado pede um número x que, adicionado aos termos 1, 3 e 6, faça com que os novos termos
1+x, 3+x, 6+x
formem uma progressão geométrica (P.G.). Vamos usar a condição de que o quociente entre termos consecutivos seja constante.

Passo 2

Sejam os termos da P.G.
a1 = 1+x, a2 = 3+x, a3 = 6+x
A condição de P.G. é
a2a1 = a3a2
Substituindo:
3+x1+x = 6+x3+x

Passo 3

Resolvendo a equação:
(3+x)^2 = (1+x)(6+x)
Expandindo ambos os lados:
x^2 + 6x + 9 = x^2 + 7x + 6
Cancelando x^2 e isolando x:
6x + 9 = 7x + 6 Longrightarrow 9 - 6 = 7x - 6x Longrightarrow x = 3

Passo 4

Verificamos que x neq -1 nem x neq -3 para não gerar divisão por zero nos quocientes. Como x=3 não viola essa condição, calculamos os termos:
1+3 = 4, 3+3 = 6, 6+3 = 9
Os quocientes são
64 = 1,5 e 96 = 1,5,
portanto formam P.G. de razão 1,5.

Resposta

3

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