Uma pessoa possui 4 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Economía e 3 livros diferentes de Engenharia, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira.
Qual a probabilidade de que os livros do mesmo assunto apareçam em ordem alfabética, mas não necessariamente adjacentes?
Qual a probabilidade de que os livros do mesmo assunto apareçam em ordem alfabética, mas não necessariamente adjacentes?
Passo 1
O enunciado diz que há livros distintos de três matérias que serão arranjados aleatoriamente numa prateleira. Pergunta: qual a probabilidade de que, para cada matéria, os livros dessa matéria apareçam em ordem alfabética (ou seja, na ordem correta entre eles), sem exigir que estejam juntos (podem estar intercalados com livros de outras matérias)?
Informações dadas:
- Há
livros diferentes de Matemática. - Há
livros diferentes de Economia. - Há
livros diferentes de Engenharia. - Os
livros são dispostos aleatoriamente em uma prateleira (todas as permutações igualmente prováveis).
O que se pede:
- A probabilidade de que, em cada uma das três matérias, os livros apareçam na ordem alfabética (interna), independentemente de estarem adjacentes ou não.
Passo 2
Vamos contar primeiro o número total de arranjos possíveis dos
livros. Quando temos
objetos distintos e queremos arranjá-los em sequência, o número de permutações possíveis é dado por
(lê-se “
fatorial”), onde
Aqui
, então o número total de arranjos é
Explicando didaticamente: cada arranjo é obtido escolhendo qual livro vai na 1ª posição (10 opções), depois qual vai na 2ª (9 opções restantes), e assim por diante, logo o total é
.
Passo 3
Agora vamos contar quantos arranjos satisfazem a condição “os livros de cada matéria aparecem em ordem alfabética (interna)”. A ideia eficiente é: escolher as posições na prateleira onde ficarão os livros de uma matéria, e dentro dessas posições os livros dessa matéria já têm a ordem fixa (a ordem alfabética), pois exigimos essa ordem.
Passo a passo para contar arranjos favoráveis:
- Escolher as
posições dentre as disponíveis para os livros da primeira matéria. O número de formas de escolher posições dentre é o coeficiente binomial Depois de escolhidas essas posições, os livros dessa matéria ocupam-nas numa única forma (apenas a ordem alfabética permitida). - Das
posições restantes, escolher para os livros da segunda matéria. Isso pode ser feito de maneiras. E novamente, dentro dessas posições a ordem está fixada (alfabética). - As últimas
posições restantes serão ocupadas pelos livros da terceira matéria, e como a ordem interna também deve ser alfabética, há apenas maneira de colocá-los nessas três posições (a ordem já é determinada).
Portanto, o número de arranjos favoráveis é
Explicando a fórmula do coeficiente binomial: para
,
que conta de quantas maneiras escolher
posições entre
sem considerar ordem.
Passo 4
Vamos calcular os valores numéricos usados acima:
Multiplicando,
O número total de arranjos, como vimos, é
Passo 5
A probabilidade pedida é a razão entre arranjos favoráveis e arranjos totais. Assim, escrevemos (sem simplificar ainda):
Didaticamente: probabilidade é sempre (casos favoráveis) dividido por (casos possíveis), quando todos os casos possíveis são equiprováveis.
Passo 6
Uma forma alternativa e muito prática de ver o mesmo resultado (útil para prova) é observar que, em uma permutação aleatória dos
livros, as ordens relativas dos livros de uma mesma matéria são igualmente prováveis entre si. Para uma matéria com
livros, há
ordens possíveis entre esses
livros, todas igualmente prováveis; apenas 1 dessas
ordens é a ordem alfabética. Logo:
- Probabilidade dos
livros da primeira matéria estarem em ordem alfabética: . - Probabilidade dos
livros da segunda matéria estarem em ordem alfabética: . - Probabilidade dos
livros da terceira matéria estarem em ordem alfabética: .
Como essas condições dependem de ordens relativas em subconjuntos disjuntos de livros, os eventos são independentes entre si em permutações aleatórias, então multiplicamos:
Nota rápida:
. Esta é uma maneira curta e muito útil em prova — lembrar: “cada grupo precisa estar numa ordem específica, e entre si há
ordens possíveis, só 1 vale”.
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar a ideia (super didático): suponha só
livros da matéria A e
livro da matéria B, total
livros. Todas as permutações são
. As permutações onde os 2 livros de A aparecem na ordem correta são aquelas em que, entre as duas posições ocupadas por A, a ordem é a desejada; das
ordens possíveis para os dois livros de A, só 1 é a boa, então a probabilidade é
. Contando por posições seria
escolhas de posições para A e em cada escolha a ordem é fixa, dando
arranjos favoráveis entre
totais, ou seja
. Mesma ideia que usamos para o problema maior.