Uma pessoa possui 4 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Economía e 3 livros diferentes de Engenharia, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira.
Qual a probabilidade de que os livros do mesmo assunto apareçam em ordem alfabética, mas não necessariamente adjacentes?

Passo 1

O enunciado diz que há livros distintos de três matérias que serão arranjados aleatoriamente numa prateleira. Pergunta: qual a probabilidade de que, para cada matéria, os livros dessa matéria apareçam em ordem alfabética (ou seja, na ordem correta entre eles), sem exigir que estejam juntos (podem estar intercalados com livros de outras matérias)?
Informações dadas:
  • 4 livros diferentes de Matemática.
  • 3 livros diferentes de Economia.
  • 3 livros diferentes de Engenharia.
  • Os 4+3+3=10 livros são dispostos aleatoriamente em uma prateleira (todas as permutações igualmente prováveis).
O que se pede:
  • A probabilidade de que, em cada uma das três matérias, os livros apareçam na ordem alfabética (interna), independentemente de estarem adjacentes ou não.

Passo 2

Vamos contar primeiro o número total de arranjos possíveis dos 10 livros. Quando temos n objetos distintos e queremos arranjá-los em sequência, o número de permutações possíveis é dado por n! (lê-se “ n fatorial”), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui n=10, então o número total de arranjos é
10!.
Explicando didaticamente: cada arranjo é obtido escolhendo qual livro vai na 1ª posição (10 opções), depois qual vai na 2ª (9 opções restantes), e assim por diante, logo o total é 10\cdot9\cdot8\cdots1 = 10!.

Passo 3

Agora vamos contar quantos arranjos satisfazem a condição “os livros de cada matéria aparecem em ordem alfabética (interna)”. A ideia eficiente é: escolher as posições na prateleira onde ficarão os livros de uma matéria, e dentro dessas posições os livros dessa matéria já têm a ordem fixa (a ordem alfabética), pois exigimos essa ordem.
Passo a passo para contar arranjos favoráveis:
  • Escolher as 4 posições dentre as 10 disponíveis para os livros da primeira matéria. O número de formas de escolher 4 posições dentre 10 é o coeficiente binomial \binom{10}{4}.Depois de escolhidas essas posições, os 4 livros dessa matéria ocupam-nas numa única forma (apenas a ordem alfabética permitida).
  • Das 6 posições restantes, escolher 3 para os livros da segunda matéria. Isso pode ser feito de \binom{6}{3} maneiras. E novamente, dentro dessas posições a ordem está fixada (alfabética).
  • As últimas 3 posições restantes serão ocupadas pelos 3 livros da terceira matéria, e como a ordem interna também deve ser alfabética, há apenas 1 maneira de colocá-los nessas três posições (a ordem já é determinada).
Portanto, o número de arranjos favoráveis é
\binom{10}{4}\binom{6}{3}\cdot 1.
Explicando a fórmula do coeficiente binomial: para 0\le k\le n,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
que conta de quantas maneiras escolher k posições entre n sem considerar ordem.

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos usados acima:
\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\,6!}=210,
\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=20.
Multiplicando,
\text{número de arranjos favoráveis} = 210\cdot20 = 4200.úá
O número total de arranjos, como vimos, é
10! = 3628800.

Passo 5

A probabilidade pedida é a razão entre arranjos favoráveis e arranjos totais. Assim, escrevemos (sem simplificar ainda):
\text{probabilidade} = \frac{4200}{3628800}.
Didaticamente: probabilidade é sempre (casos favoráveis) dividido por (casos possíveis), quando todos os casos possíveis são equiprováveis.

Passo 6

Uma forma alternativa e muito prática de ver o mesmo resultado (útil para prova) é observar que, em uma permutação aleatória dos 10 livros, as ordens relativas dos livros de uma mesma matéria são igualmente prováveis entre si. Para uma matéria com k livros, há k! ordens possíveis entre esses k livros, todas igualmente prováveis; apenas 1 dessas k! ordens é a ordem alfabética. Logo:
  • Probabilidade dos 4 livros da primeira matéria estarem em ordem alfabética: \dfrac{1}{4!}.
  • Probabilidade dos 3 livros da segunda matéria estarem em ordem alfabética: \dfrac{1}{3!}.
  • Probabilidade dos 3 livros da terceira matéria estarem em ordem alfabética: \dfrac{1}{3!}.
Como essas condições dependem de ordens relativas em subconjuntos disjuntos de livros, os eventos são independentes entre si em permutações aleatórias, então multiplicamos:
\text{probabilidade} = \frac{1}{4!}\cdot\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{3!} = \frac{1}{4!\,3!\,3!}.
Nota rápida: 4!\cdot3!\cdot3! = 24\cdot6\cdot6 = 864. Esta é uma maneira curta e muito útil em prova — lembrar: “cada grupo precisa estar numa ordem específica, e entre si há k! ordens possíveis, só 1 vale”.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar a ideia (super didático): suponha só 2 livros da matéria A e 1 livro da matéria B, total 3 livros. Todas as permutações são 3!=6. As permutações onde os 2 livros de A aparecem na ordem correta são aquelas em que, entre as duas posições ocupadas por A, a ordem é a desejada; das 2!=2 ordens possíveis para os dois livros de A, só 1 é a boa, então a probabilidade é 1/2!=1/2. Contando por posições seria \binom{3}{2}=3 escolhas de posições para A e em cada escolha a ordem é fixa, dando 3 arranjos favoráveis entre 6 totais, ou seja 3/6=1/2. Mesma ideia que usamos para o problema maior.

Resposta

\dfrac{1}{864}

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