Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20 . Qual a probabilidade de o número escolhido:
ser quadrado perfeito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 20 inteiros possíveis: os números de 1 a 20.
  • Um número é escolhido ao acaso entre esses 20 (probabilidade uniforme).
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de o número escolhido ser um quadrado perfeito.

Passo 2

Entendendo o espaço amostral (todos os resultados possíveis).
  • Como a escolha é entre os inteiros de 1 a 20 com mesma chance, o número total de resultados possíveis é
N=20.
  • Em probabilidades discretas uniformes, a fórmula básica é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui vamos precisar contar quantos números entre 1 e 20 são quadrados perfeitos.

Passo 3

O que é um quadrado perfeito e como encontrá-los.
  • Um inteiro m é quadrado perfeito se existe um inteiro k tal que
m = k^2.
  • Para achar os quadrados perfeitos entre 1 e 20, calculamos k^2 para k=1,2,\dots até que k^2>20.

Passo 4

Listando os quadrados perfeitos no intervalo.
  • 1^2 = 1
  • 2^2 = 4
  • 3^2 = 9
  • 4^2 = 16
  • 5^2 = 25 (já é maior que 20, então paramos)
Portanto os quadrados perfeitos entre 1 e 20 são
1,\;4,\;9,\;16.
O número de resultados favoráveis é
m=4.

Passo 5

Aplicando a fórmula da probabilidade e simplificando.
  • Usando a fórmula,
P(\text{quadrado perfeito})=\frac{m}{N}=\frac{4}{20}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4,
\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.
  • Em decimal e porcentagem isso corresponde a
\frac{1}{5}=0,2=20\%.

Passo 6

Dica rápida para a prova (truquezinho útil).
  • O número de quadrados perfeitos entre 1 e n é \lfloor \sqrt{n}\rfloor. Aqui \lfloor \sqrt{20}\rfloor=\lfloor 4,472\ldots\rfloor=4, que é o mesmo m que usamos. Assim dá para responder rápido sem listar tudo.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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