Um número
é escolhido ao acaso no conjunto
. Sejam os eventos:
é múltiplo de 3
é par
é primo
,
Determine:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
f)Verifique se
e
são independentes?
g) Verifique se B e C são ME ?
h)
[30%]
a)
b)
c)
d)
e)
f)Verifique se
g) Verifique se B e C são ME ?
h)
[30%]
Passo 1
Aqui a gente tem um exercício de probabilidade clássica: escolhemos um número
entre 1 e 20, todos com igual chance. Os eventos são:
A = “ é múltiplo de 3”;
B = “ é par”;
C = “ é primo”.
Precisamos achar:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) verificar se A e B são independentes;
g) verificar se B e C são mutuamente exclusivos;
h) .
Pra isso, vamos contar quantos valores satisfazem cada evento e usar as fórmulas de probabilidade, união, interseção, independência e condicional.
A = “
B = “
C = “
Precisamos achar:
a)
b)
c)
d)
e)
f) verificar se A e B são independentes;
g) verificar se B e C são mutuamente exclusivos;
h)
Pra isso, vamos contar quantos valores satisfazem cada evento e usar as fórmulas de probabilidade, união, interseção, independência e condicional.
Passo 2
Calcular
.
Múltiplos de 3 em : 3,6,9,12,15,18 → 6 valores. Universo tem 20.
Múltiplos de 3 em
Passo 3
Calcular
.
Números pares de 1 a 20: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 → 10 valores.
Números pares de 1 a 20: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 → 10 valores.
Passo 4
Calcular
.
Números primos de 1 a 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 → 8 valores.
Números primos de 1 a 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 → 8 valores.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula
Precisamos de
, que a gente faz no próximo passo.
Passo 6
Calcular
.
A∩B = múltiplos de 3 e pares = múltiplos de 6: 6,12,18 → 3 valores.
A∩B = múltiplos de 3 e pares = múltiplos de 6: 6,12,18 → 3 valores.
Agora voltamos à união:
Passo 7
Verificar independência de A e B.
Eventos são independentes se
Eventos são independentes se
Aqui
e
.
Como bate, A e B são independentes.
Como bate, A e B são independentes.
Passo 8
Verificar se B e C são mutuamente exclusivos.
Eles são mutuamente exclusivos se .
B∩C contém o 2, logo .
Portanto, B e C não são mutuamente exclusivos.
Eles são mutuamente exclusivos se
B∩C contém o 2, logo
Portanto, B e C não são mutuamente exclusivos.
Passo 9
Calcular probabilidade condicional
.
Fórmula:
Fórmula:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) A e B são independentes
g) B e C não são mutuamente exclusivos
h)
b)
c)
d)
e)
f) A e B são independentes
g) B e C não são mutuamente exclusivos
h)