Um número x é escolhido ao acaso no conjunto 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ldots ldots, 20. Sejam os eventos:
A=x é múltiplo de 3 ;
B=x é par ;
C=x é primo ,
Determine:
a) P(A);
b) P(B);
c) P(C);
d) P(A cup B);
e) P(A cap B)
f)Verifique se A e B são independentes?
g) Verifique se B e C são ME ?
h) P(A / B)
[30%]

Passo 1

Aqui a gente tem um exercício de probabilidade clássica: escolhemos um número x entre 1 e 20, todos com igual chance. Os eventos são:
A = “ x é múltiplo de 3”;
B = “ x é par”;
C = “ x é primo”.
Precisamos achar:
a) P(A);
b) P(B);
c) P(C);
d) P(Acup B);
e) P(Acap B);
f) verificar se A e B são independentes;
g) verificar se B e C são mutuamente exclusivos;
h) P(Amid B).
Pra isso, vamos contar quantos valores satisfazem cada evento e usar as fórmulas de probabilidade, união, interseção, independência e condicional.

Passo 2

Calcular P(A).
Múltiplos de 3 em 1,dots,20: 3,6,9,12,15,18 → 6 valores. Universo tem 20.
P(A)=|A||Omega|=620=310

Passo 3

Calcular P(B).
Números pares de 1 a 20: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 → 10 valores.
P(B)=1020=12

Passo 4

Calcular P(C).
Números primos de 1 a 20: 2,3,5,7,11,13,17,19 → 8 valores.
P(C)=820=25

Passo 5

Calcular P(Acup B) usando a fórmula
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Precisamos de P(Acap B), que a gente faz no próximo passo.

Passo 6

Calcular P(Acap B).
A∩B = múltiplos de 3 e pares = múltiplos de 6: 6,12,18 → 3 valores.
P(Acap B)=320
Agora voltamos à união:
P(Acup B)=310+12-320 =620+1020-320 =1320

Passo 7

Verificar independência de A e B.
Eventos são independentes se
P(Acap B)=P(A),P(B)
Aqui P(Acap B)=3/20 e P(A),P(B)=(3/10)times(1/2)=3/20.
Como bate, A e B são independentes.

Passo 8

Verificar se B e C são mutuamente exclusivos.
Eles são mutuamente exclusivos se P(Bcap C)=0.
B∩C contém o 2, logo P(Bcap C)=1/20neq0.
Portanto, B e C não são mutuamente exclusivos.

Passo 9

Calcular probabilidade condicional P(Amid B).
Fórmula:
P(Amid B)=P(Acap B)P(B) =tfrac320tfrac12 =310

Resposta

a) P(A)=tfrac310
b) P(B)=tfrac12
c) P(C)=tfrac25
d) P(Acup B)=tfrac1320
e) P(Acap B)=tfrac320
f) A e B são independentes
g) B e C não são mutuamente exclusivos
h) P(Amid B)=tfrac310

Exercícios relacionados