Qual o número de estados possíveis para um sistema composto de 300 spins (1 / 2) cuja energia é 70 \mu_{0} H ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Número total de spins: N=300.
  • Cada spin é de 1/2 (ou seja, cada spin pode assumir dois estados: “para cima” ou “para baixo”).
  • A energia total do sistema é E=70\,\mu_{0}H.
  • Pergunta: qual é o número de estados possíveis (microestados) que correspondem a essa energia?

Passo 2

Vamos modelar os spins de forma simples e clara. Cada spin pode estar em dois estados:
  • “para cima” (vou chamar de up) com energia por spin -\mu_{0}H (momento magnético alinhado com o campo),
  • “para baixo” (down) com energia por spin +\mu_{0}H (momento magnético anti-alinhado).
Defino as variáveis:
  • n_{\uparrow} = número de spins para cima,
  • n_{\downarrow} = número de spins para baixo.
Essas duas quantidades satisfazem
n_{\uparrow}+n_{\downarrow}=N.
A energia total do sistema é soma das energias individuais. Como cada spin up tem energia -\mu_{0}H e cada spin down tem energia +\mu_{0}H, a energia total é
E = (-\mu_{0}H)\,n_{\uparrow} + (+\mu_{0}H)\,n_{\downarrow}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da energia usando n_{\downarrow}=N-n_{\uparrow}:
E = -\mu_{0}H\,n_{\uparrow} + \mu_{0}H\,(N-n_{\uparrow}) = \mu_{0}H\,(N-2n_{\uparrow}).
Outra forma equivalente, mais direta que vem de somar sinais, é
E = -\mu_{0}H\,(2n_{\uparrow}-N),
mas ambas as expressões são a mesma (só mudam de sinal conforme manipulação).
Agora igualamos à energia dada E=70\,\mu_{0}H. Cancelando o fator \mu_{0}H (assumindo que é não nulo), temos:
N-2n_{\uparrow}=70.
Isolando n_{\uparrow}:
2n_{\uparrow}=N-70 \quad\Rightarrow\quad n_{\uparrow}=\frac{N-70}{2}.
Substituindo N=300:
n_{\uparrow}=\frac{300-70}{2}=\frac{230}{2}=115.
Logo, para que a energia total seja 70\,\mu_{0}H é necessário haver exatamente 115 spins para cima e, portanto, 185 spins para baixo.

Passo 4

Agora contamos quantos microestados distintos correspondem a exatamente n_{\uparrow}=115 spins up entre N=300 spins. Cada microestado é definido por quais spins (quais posições) estão para cima. O número de maneiras de escolher 115 spins entre 300 é o coeficiente binomial
\binom{300}{115}=\frac{300!}{115!\,185!}.
Explicação intuitiva: você escolhe quais 115 posições (de um total de 300) estarão com spin up; as restantes ficam down. Não importa a ordem dos spins escolhidos, por isso usamos combinação.

Passo 5

Portanto a resposta exata (combinatória) é
\binom{300}{115}.
Se você precisar do valor numérico em ordem de grandeza, podemos estimar usando a aproximação de Stirling para fatoriais (útil quando os números são grandes).

Passo 6

Breve aula sobre a aproximação de Stirling (para não se assustar com cálculo de fatoriais grandes):
  • A fórmula de Stirling (apróx.) é
\ln n! \approx n\ln n - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n).
Usando isso para \ln\binom{300}{115}=\ln 300! -\ln115! -\ln185! e simplificando, obtemos numericamente
\ln\binom{300}{115} \approx 196{,}65.
Convertendo para base 10,
\log_{10}\binom{300}{115} \approx \frac{196{,}65}{\ln 10}\approx 85{,}436,
ou seja
\binom{300}{115}\approx 10^{85{,}436}\approx 2{,}73\times 10^{85}.

Resposta

\displaystyle \binom{300}{115}
\displaystyle \approx 2{,}73\times 10^{85}

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