Qual o número de estados possíveis para um sistema composto de 300 spins (1 / 2) cuja energia é 70 \mu_{0} H ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Número total de spins:
. - Cada spin é de
(ou seja, cada spin pode assumir dois estados: “para cima” ou “para baixo”). - A energia total do sistema é
. - Pergunta: qual é o número de estados possíveis (microestados) que correspondem a essa energia?
Passo 2
Vamos modelar os spins de forma simples e clara. Cada spin pode estar em dois estados:
- “para cima” (vou chamar de up) com energia por spin
(momento magnético alinhado com o campo), - “para baixo” (down) com energia por spin
(momento magnético anti-alinhado).
Defino as variáveis:
-
= número de spins para cima, -
= número de spins para baixo.
Essas duas quantidades satisfazem
A energia total do sistema é soma das energias individuais. Como cada spin up tem energia
e cada spin down tem energia
, a energia total é
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da energia usando
:
Outra forma equivalente, mais direta que vem de somar sinais, é
mas ambas as expressões são a mesma (só mudam de sinal conforme manipulação).
Agora igualamos à energia dada
. Cancelando o fator
(assumindo que é não nulo), temos:
Isolando
:
Substituindo
:
Logo, para que a energia total seja
é necessário haver exatamente
spins para cima e, portanto,
spins para baixo.
Passo 4
Agora contamos quantos microestados distintos correspondem a exatamente
spins up entre
spins. Cada microestado é definido por quais spins (quais posições) estão para cima. O número de maneiras de escolher
spins entre
é o coeficiente binomial
Explicação intuitiva: você escolhe quais
posições (de um total de
) estarão com spin up; as restantes ficam down. Não importa a ordem dos spins escolhidos, por isso usamos combinação.
Passo 5
Portanto a resposta exata (combinatória) é
Se você precisar do valor numérico em ordem de grandeza, podemos estimar usando a aproximação de Stirling para fatoriais (útil quando os números são grandes).
Passo 6
Breve aula sobre a aproximação de Stirling (para não se assustar com cálculo de fatoriais grandes):
- A fórmula de Stirling (apróx.) é
Usando isso para
e simplificando, obtemos numericamente
Convertendo para base 10,
ou seja