(2,0 PONTOS) Dois corpos de massas iguais a 20 g e cargas elétricas iguais a
estão separados de 30 cm e ligados através de um cordão isolante de massa desprezivel sobre um plano horizontal. O corpo A está fixo. Despreze o atrito e considere
. Qual a distância, em metros, que o corpo
estará relativamente ao corpo
quando sua velocidade for de
, depois de cortar-se o cordão que os liga?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
- massa dos corpos:
e (iguais). - cargas:
e (iguais). - separação inicial entre
e : . - o corpo
está fixo; o cordão tem massa desprezível; plano horizontal; sem atrito. - constante eletrostática:
. - velocidade de
desejada: (quando queremos saber a nova distância).
Pergunta:
- Qual a distância, em metros, entre
e quando a velocidade de passar a ser , após cortar o cordão?
Passo 2
Minha ideia é usar conservação de energia (vou explicar porquê): quando o cordão é cortado as duas cargas iguais se repelem; como não há atrito e
está fixo, a energia potencial eletrostática associada à interação entre as cargas diminui e essa diferença transforma-se em energia cinética de
. A força elétrica é conservativa, então a energia mecânica total (potencial elétrica + cinética) é conservada. A fórmula para a energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes é
onde
é a energia potencial (em joules),
é a constante eletrostática,
e
são as cargas (em coulomb) e
é a separação (em metros). Para cargas de mesmo sinal
e diminui quando
aumenta. A energia cinética de
é
onde
é a massa de
e
sua velocidade.
Como
está fixo e partimos com
praticamente em repouso imediatamente após cortar o cordão, a conservação de energia entre o estado inicial (separação
, velocidade
) e o estado final (separação
, velocidade
) dá:
Vou usar essa equação para isolar
e calcular numericamente.
Passo 3
Convertemos unidades e calculamos alguns termos iniciais.
- massa:
. - carga:
. - separação inicial:
. - velocidade desejada:
. - produto das cargas ao quadrado:
- constante vezes
:
(Note que a unidade resultante é tal que
dá joules.)
Passo 4
Escrevemos a equação de conservação de energia e isolamos
.
A equação é
Subtraindo
dos dois lados e dividindo por
obtemos
Portanto
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
Cálculo da energia cinética requerida:
Termo
:
Termo
:
Substituindo em
:
Logo
Passo 6
Interpretação final rápida: a distância aumentou de
para
, o que faz sentido porque cargas iguais se repelem e parte da energia potencial elétrica virou energia cinética de
. Assumi que
começou praticamente em repouso no momento do corte e que toda a perda de energia potencial foi convertida em energia cinética de
(condições dadas:
fixo, sem atrito).