(2,0 PONTOS) Dois corpos de massas iguais a 20 g e cargas elétricas iguais a 6 \mu \mathrm{C} estão separados de 30 cm e ligados através de um cordão isolante de massa desprezivel sobre um plano horizontal. O corpo A está fixo. Despreze o atrito e considere \mathrm{K}=9,0.10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}. Qual a distância, em metros, que o corpo B estará relativamente ao corpo A quando sua velocidade for de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, depois de cortar-se o cordão que os liga?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
  • massa dos corpos: 20\\ \mathrm{g} e 20\\ \mathrm{g} (iguais).
  • cargas: 6\\ \mu\mathrm{C} e 6\\ \mu\mathrm{C} (iguais).
  • separação inicial entre A e B: 30\\ \mathrm{cm}.
  • o corpo A está fixo; o cordão tem massa desprezível; plano horizontal; sem atrito.
  • constante eletrostática: k=9{,}0\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • velocidade de B desejada: 6\\ \mathrm{m/s} (quando queremos saber a nova distância).
Pergunta:
  • Qual a distância, em metros, entre B e A quando a velocidade de B passar a ser 6\\ \mathrm{m/s}, após cortar o cordão?

Passo 2

Minha ideia é usar conservação de energia (vou explicar porquê): quando o cordão é cortado as duas cargas iguais se repelem; como não há atrito e A está fixo, a energia potencial eletrostática associada à interação entre as cargas diminui e essa diferença transforma-se em energia cinética de B. A força elétrica é conservativa, então a energia mecânica total (potencial elétrica + cinética) é conservada. A fórmula para a energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes é
U(r)=k\frac{q_1 q_2}{r},
onde U(r) é a energia potencial (em joules), k é a constante eletrostática, q_1 e q_2 são as cargas (em coulomb) e r é a separação (em metros). Para cargas de mesmo sinal U>0 e diminui quando r aumenta. A energia cinética de B é
K=\frac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa de B e v sua velocidade.
Como A está fixo e partimos com B praticamente em repouso imediatamente após cortar o cordão, a conservação de energia entre o estado inicial (separação r_0, velocidade 0) e o estado final (separação r, velocidade v) dá:
U(r_0)=U(r)+\frac{1}{2}m v^2.
Vou usar essa equação para isolar r e calcular numericamente.

Passo 3

Convertemos unidades e calculamos alguns termos iniciais.
  • massa: 20\\ \mathrm{g}=0{,}02\\ \mathrm{kg}.
  • carga: 6\\ \mu\mathrm{C}=6\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • separação inicial: 30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • velocidade desejada: v=6\\ \mathrm{m/s}.
  • produto das cargas ao quadrado:
q^2=(6\cdot 10^{-6})^2=36\cdot 10^{-12}=3{,}6\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{C^2}.
  • constante vezes q^2:
k q^2 = (9{,}0\times 10^{9})\cdot(3{,}6\times 10^{-11}) = 0{,}324.
(Note que a unidade resultante é tal que k q^2 / r dá joules.)

Passo 4

Escrevemos a equação de conservação de energia e isolamos r.
A equação é
k\frac{q^2}{r_0}=k\frac{q^2}{r}+\frac{1}{2} m v^2.
Subtraindo k\frac{q^2}{r} dos dois lados e dividindo por k q^2 obtemos
\frac{1}{r}=\frac{1}{r_0}-\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{k q^2}.
Portanto
r=\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{r_0}-\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{k q^2}}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
Cálculo da energia cinética requerida:
m v^2 = 0{,}02\cdot 6^2 = 0{,}02\cdot 36 = 0{,}72,
\frac{1}{2} m v^2 = 0{,}36\\ \mathrm{J}.
Termo \dfrac{\tfrac{1}{2} m v^2}{k q^2}:
\frac{0{,}36}{0{,}324}=1{,}111111\ldots = \frac{10}{9}.
Termo \dfrac{1}{r_0}:
\frac{1}{r_0}=\frac{1}{0{,}30}=3{,}333333\ldots = \frac{10}{3}.
Substituindo em \dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{\tfrac{1}{2} m v^2}{k q^2}:
\frac{1}{r}=\frac{10}{3}-\frac{10}{9}=\frac{30-10}{9}=\frac{20}{9}.
Logo
r=\frac{9}{20}=0{,}45\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final rápida: a distância aumentou de 0{,}30\\ \mathrm{m} para 0{,}45\\ \mathrm{m}, o que faz sentido porque cargas iguais se repelem e parte da energia potencial elétrica virou energia cinética de B. Assumi que B começou praticamente em repouso no momento do corte e que toda a perda de energia potencial foi convertida em energia cinética de B (condições dadas: A fixo, sem atrito).

Resposta

0{,}45\\ \mathrm{m}

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