Para um oscilador com mola e bloco amortecido, o bloco tem uma massa de
e a mola tem uma constante de
. À medida que o bloco oscila, sua amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento descrito por um coeficiente de amortecimento de
.
a) O bloco é puxado do equilíbrio e, em seguida, liberado do repouso. Quanto tempo levará para que a amplitude do oscilador diminua para apenas
do seu valor inicial?
b) Qual é o período de oscilação do bloco?
c) Quantos ciclos o bloco terá percorrido durante o tempo que leva para que sua amplitude diminua para
do seu valor inicial?
a) O bloco é puxado do equilíbrio e, em seguida, liberado do repouso. Quanto tempo levará para que a amplitude do oscilador diminua para apenas
b) Qual é o período de oscilação do bloco?
c) Quantos ciclos o bloco terá percorrido durante o tempo que leva para que sua amplitude diminua para
Passo 1
O enunciado dá um bloco preso a uma mola com amortecimento viscoso e pede três coisas. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
- (a) Quanto tempo leva para a amplitude decair até
do valor inicial? - (b) Qual é o período de oscilação do bloco?
- (c) Quantos ciclos o bloco completa durante o tempo do item (a)?
Dados fornecidos:
Observação: o bloco é puxado e liberado do repouso (ou seja, condição inicial com velocidade zero), e o amortecimento é do tipo viscoso descrito pelo coeficiente
.
Passo 2
Vamos escrever a equação de movimento e definir termos importantes (aqui eu ensino o básico do sistema massa-mola amortecido).
A equação do movimento para amortecimento viscoso é
onde
-
é o deslocamento em função do tempo, -
e são a velocidade e a aceleração, -
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento viscoso, -
é a constante da mola.
Definimos duas quantidades úteis:
Para o caso subamortecido (que ocorre quando
) a solução é oscilatória com amplitude decaindo exponencialmente como
. A frequência angular das oscilações amortecidas é
e o período é
Passo 3
Antes de aplicar fórmulas, calculamos
e
com os dados dados (aqui mostro como calcular passo a passo).
Calcule
:
Faço a divisão primeiro:
Agora a raiz quadrada:
Calcule
:
Efetuando a divisão:
Verificação do regime: compare
com
.
logo o sistema é subamortecido e as fórmulas do passo anterior são válidas.
Passo 4
Agora deduzimos a expressão do tempo para a amplitude cair até
. Explico a ideia: no regime subamortecido a amplitude real em função do tempo tem um fator exponencial multiplicando a parte oscilatória; o envelope decai como
. Queremos
.
Escrevendo a condição:
Cancelamos
(não é zero) e obtemos
Tomando logaritmo natural e resolvendo para
:
Observação didática:
é a constante natural com valor aproximado
. A razão
dá a escala de tempo do decaimento exponencial.
Passo 5
Calculo numérico do tempo
usando o valor de
obtido.
Usando
substituo
e
:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Agora calculo a frequência angular amortecida
e o período
(passo a passo e com a explicação do porquê usamos
).
Lembrete:
. Como
é muito pequeno comparado a
,
ficará muito próximo de
, mas vamos calcular com precisão:
Calculo das parcelas:
Agora o período
Como
,
Passo 7
Finalmente, calculo o número de ciclos completados durante o tempo
do Passo 5. A lógica: o número de ciclos é o tempo total dividido pelo período.
Substituindo
e
: