Para um oscilador com mola e bloco amortecido, o bloco tem uma massa de 0,380 \mathrm{~kg} e a mola tem uma constante de 130 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. À medida que o bloco oscila, sua amplitude diminui com o tempo devido ao amortecimento descrito por um coeficiente de amortecimento de 0,0880 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
a) O bloco é puxado do equilíbrio e, em seguida, liberado do repouso. Quanto tempo levará para que a amplitude do oscilador diminua para apenas 10 \% do seu valor inicial?
b) Qual é o período de oscilação do bloco?
c) Quantos ciclos o bloco terá percorrido durante o tempo que leva para que sua amplitude diminua para 10 \% do seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá um bloco preso a uma mola com amortecimento viscoso e pede três coisas. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Quanto tempo leva para a amplitude decair até 10\% do valor inicial?
  • (b) Qual é o período de oscilação do bloco?
  • (c) Quantos ciclos o bloco completa durante o tempo do item (a)?
Dados fornecidos:
m = 0,380\\ \mathrm{kg}
k = 130\\ \mathrm{N/m}
b = 0,0880\\ \mathrm{kg/s}
Observação: o bloco é puxado e liberado do repouso (ou seja, condição inicial com velocidade zero), e o amortecimento é do tipo viscoso descrito pelo coeficiente b.

Passo 2

Vamos escrever a equação de movimento e definir termos importantes (aqui eu ensino o básico do sistema massa-mola amortecido).
A equação do movimento para amortecimento viscoso é
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0,
onde
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo,
  • \dot{x} e \ddot{x} são a velocidade e a aceleração,
  • m é a massa,
  • b é o coeficiente de amortecimento viscoso,
  • k é a constante da mola.
Definimos duas quantidades úteis:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{(frequência angular natural, sem amortecimento)}ê
\gamma = \frac{b}{2m}\quad\text{(taxa de decaimento exponencial do envelope de amplitude)}
Para o caso subamortecido (que ocorre quando \gamma < \omega_0) a solução é oscilatória com amplitude decaindo exponencialmente como e^{-\gamma t}. A frequência angular das oscilações amortecidas é
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2},
e o período é
T = \frac{2\pi}{\omega_d}.

Passo 3

Antes de aplicar fórmulas, calculamos \omega_0 e \gamma com os dados dados (aqui mostro como calcular passo a passo).
Calcule \omega_0:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{130}{0,380}}.
Faço a divisão primeiro:
\frac{130}{0,380} \approx 342,105263\ldots
Agora a raiz quadrada:
\omega_0 \approx 18,496\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule \gamma:
\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0,0880}{2\cdot 0,380} = \frac{0,0880}{0,76}.
Efetuando a divisão:
\gamma \approx 0,11579\\ \mathrm{s^{-1}}.
Verificação do regime: compare \gamma com \omega_0.
\gamma \approx 0,11579 \ll \omega_0 \approx 18,496,
logo o sistema é subamortecido e as fórmulas do passo anterior são válidas.

Passo 4

Agora deduzimos a expressão do tempo para a amplitude cair até 10\%. Explico a ideia: no regime subamortecido a amplitude real em função do tempo tem um fator exponencial multiplicando a parte oscilatória; o envelope decai como A(t)=A_0 e^{-\gamma t}. Queremos A(t)=0,1A_0.
Escrevendo a condição:
A_0 e^{-\gamma t} = 0,1\,A_0.
Cancelamos A_0 (não é zero) e obtemos
e^{-\gamma t} = 0,1.
Tomando logaritmo natural e resolvendo para t:
-\gamma t = \ln(0,1) = -\ln(10) \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln(10)}{\gamma}.
Observação didática: \ln(10) é a constante natural com valor aproximado 2,302585\ldots. A razão 1/\gamma dá a escala de tempo do decaimento exponencial.

Passo 5

Calculo numérico do tempo t usando o valor de \gamma obtido.
Usando
t = \frac{\ln(10)}{\gamma},
substituo \gamma \approx 0,11579\\ \mathrm{s^{-1}} e \ln(10)\approx 2,302585:
t \approx \frac{2,302585}{0,11579}.
Fazendo a divisão:
t \approx 19,88\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Agora calculo a frequência angular amortecida \omega_d e o período T (passo a passo e com a explicação do porquê usamos \omega_d).
Lembrete: \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}. Como \gamma é muito pequeno comparado a \omega_0, \omega_d ficará muito próximo de \omega_0, mas vamos calcular com precisão:
\omega_d = \sqrt{(18,496)^2 - (0,11579)^2}.
Calculo das parcelas:
\omega_0^2 \approx 342,105\quad\text{e}\quad \gamma^2 \approx 0,01341,
\omega_d \approx \sqrt{342,105 - 0,01341} = \sqrt{342,0916} \approx 18,495.
Agora o período
T = \frac{2\pi}{\omega_d}.
Como 2\pi \approx 6,283185,
T \approx \frac{6,283185}{18,495} \approx 0,3397\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Finalmente, calculo o número de ciclos completados durante o tempo t do Passo 5. A lógica: o número de ciclos é o tempo total dividido pelo período.
N = \frac{t}{T}.
Substituindo t\approx 19,88\\ \mathrm{s} e T\approx 0,3397\\ \mathrm{s}:
N \approx \frac{19,88}{0,3397} \approx 58,5\\ \text{ciclos}.

Resposta

t \approx 19,9\\ \mathrm{s}
T \approx 0,340\\ \mathrm{s}
N \approx 58,5\\ \text{ciclos}

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