O número de gotas de chocolate em um cookie tem uma distribuição de Poisson com parâmetro
7,9. Suponha que a variável aleatória
seja o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente.
Para nosso modelo, qual é o valor esperado de
?
Para nosso modelo, qual é o valor esperado de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A variável aleatória
é o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente. -
tem distribuição de Poisson com parâmetro .
A pergunta do problema é:
- Qual é o valor esperado de
? (Ou seja, calcular .)
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson e qual é sua função de massa de probabilidade (pmf). A distribuição de Poisson com parâmetro
tem pmf
Aqui:
-
representa um possível valor inteiro que pode assumir; -
é a média teórica (taxa) da Poisson e é um número positivo dado pelo problema.
Passo 3
Agora vamos escrever a definição do valor esperado (esperança) para uma variável discreta. Para
discreta:
Aplicando isso à Poisson, substituímos
pela pmf:
Passo 4
Vamos manipular a soma para simplificá-la. Observe que para
o termo é nulo (porque vem multiplicado por
), então podemos começar a soma em
. Escrevemos:
Repare que
. Substituindo:
Como
não depende de
, pode sair da soma:
Passo 5
Faça a mudança de índice
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim:
Mas a série
é a expansão em série da exponencial
. Portanto
Passo 6
Conclusão e interpretação: para uma variável com distribuição de Poisson, a esperança é exatamente o parâmetro
. No contexto do problema, isso significa que o número médio (esperado) de gotas de chocolate por cookie é
. Como o enunciado deu
, a esperança é
.