O número de gotas de chocolate em um cookie tem uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda= 7,9. Suponha que a variável aleatória X seja o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente.
Para nosso modelo, qual é o valor esperado de X ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A variável aleatória X é o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente.
  • X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda = 7,9.
A pergunta do problema é:
  • Qual é o valor esperado de X? (Ou seja, calcular E[X].)

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson e qual é sua função de massa de probabilidade (pmf). A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 tem pmf
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Aqui:
  • k representa um possível valor inteiro que X pode assumir;
  • \lambda é a média teórica (taxa) da Poisson e é um número positivo dado pelo problema.

Passo 3

Agora vamos escrever a definição do valor esperado (esperança) para uma variável discreta. Para X discreta:
E[X]=\sum_{k=0}^{\infty} k\,P(X=k).
Aplicando isso à Poisson, substituímos P(X=k) pela pmf:
E[X]=\sum_{k=0}^{\infty} k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.

Passo 4

Vamos manipular a soma para simplificá-la. Observe que para k=0 o termo é nulo (porque vem multiplicado por k), então podemos começar a soma em k=1. Escrevemos:
E[X]=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty} k\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Repare que k\frac{\lambda^{k}}{k!}=\lambda\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}. Substituindo:
E[X]=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty} \lambda\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}.
Como \lambda não depende de k, pode sair da soma:
E[X]=\lambda\,e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}.

Passo 5

Faça a mudança de índice j=k-1. Quando k vai de 1 a \infty, j vai de 0 a \infty. Assim:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}.
Mas a série \sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{j}}{j!} é a expansão em série da exponencial e^{\lambda}. Portanto
E[X]=\lambda\,e^{-\lambda}\,e^{\lambda}=\lambda.

Passo 6

Conclusão e interpretação: para uma variável com distribuição de Poisson, a esperança é exatamente o parâmetro \lambda. No contexto do problema, isso significa que o número médio (esperado) de gotas de chocolate por cookie é \lambda. Como o enunciado deu \lambda = 7,9, a esperança é 7,9.

Resposta

E[X]=7,9

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