O número de habitantes de uma cidade é hoje 30000. Sabendo que essa população crescerá exponencialmente à taxa de 2 \% a.a. nos próximos 5 anose 3 \% a.a. nos 5 anos seguintes, quantos habitantes terá a população daqui a 10 anos?

Passo 1

O enunciado diz que a população atual é de 30000 habitantes e que ela cresce exponencialmente com duas taxas anuais distintas: 2\% ao ano nos primeiros 5 anos e depois 3\% ao ano nos 5 anos seguintes. Para modelar crescimento exponencial, usamos a fórmula
N(t) = N_0 \cdot (1 + r)^t
onde N_0 é a população inicial, r é a taxa de crescimento anual (em forma decimal) e t o número de anos.

Passo 2

Primeiro, calculamos a população ao final dos primeiros 5 anos com taxa r_1 = 2\% = 0{,}02. Seja N_5 a população após 5 anos:
N_5 = 30000 \cdot (1 + 0{,}02)^{5}.

Passo 3

Em seguida, a população que tínhamos em t=5 continua crescendo por mais 5 anos com taxa r_2 = 3\% = 0{,}03. Chamamos de N_{10} a população ao final de 10 anos:
N_{10} = N_5 \cdot (1 + 0{,}03)^{5}.

Passo 4

Substituindo N_5 em N_{10} e calculando numericamente:
N_{10} = 30000 \cdot (1{,}02)^{5} \cdot (1{,}03)^{5}.
Calculando cada termo:
(1{,}02)^{5}\approx 1{,}10408 \quad\text{e}\quad (1{,}03)^{5}\approx 1{,}15927,
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N_{10}\approx 30000 \times 1{,}10408 \times 1{,}15927 \approx 38400.

Resposta

Daqui a 10 anos a população será de aproximadamente 38400 habitantes.

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