O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 20000 e cresce exponencialmente a uma taxa de 2 \% a.a.
a) Qual número de habitantes y daqui a x anos?
b) Faça o gráfico de y em função de x .

Passo 1

O enunciado diz que a população atual é de 20000 habitantes e cresce exponencialmente a uma taxa de 2\% ao ano. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial contínuo. Vamos formular a equação diferencial ou usar a fórmula geral para obter y em função de x, e depois esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Em crescimento exponencial contínuo, a taxa de variação da população satisfaz
\frac{dy}{dx}=k\,y,
onde k é a taxa de crescimento em unidades de an o^{-} ^{1}. Como cresce 2\% a.a., temos
k=0,02.

Passo 3

A solução geral da equação \frac{dy}{dx}=k\,y com condição inicial y(0)=y_0 é
y(x)=y_0\,e^{k\,x}.
Aqui y_0=20000 e k=0,02, portanto
y(x)=20000\,e^{0,02\,x}.

Passo 4

Esta expressão responde à parte (a):
\boxed{y(x)=20000\,e^{0,02\,x}}.

Passo 5

Para a parte (b), o gráfico de y em função de x é uma curva exponencial crescente, com as seguintes características:
\bullet Em x=0, y=20000.
\bullet Para x>0, a curva sobe cada vez mais rápido (é côncava para cima).
\bullet O eixo horizontal representa o tempo x (em anos) e o eixo vertical a população y.
\bullet Não há assíntota horizontal diferente de zero; à medida que x\to\infty, y\to\infty.
Em um esboço, marca-se o ponto (0,20000) e desenha-se uma curva suave que cresce lentamente no início e acelera com o passar dos anos.

Resposta

a) \displaystyle y(x)=20000\,e^{0,02\,x}.
b) Gráfico: curva exponencial que parte de y(0)=20000, cresce monotonicamente e é côncava para cima.

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