O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 20000 e cresce exponencialmente a uma taxa de
a.a.
a) Qual número de habitantes
daqui
anos?
b) Faça o gráfico de y em função de x .
a) Qual número de habitantes
b) Faça o gráfico de y em função de x .
Passo 1
O enunciado diz que a população atual é de
habitantes e cresce exponencialmente a uma taxa de
ao ano. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial contínuo. Vamos formular a equação diferencial ou usar a fórmula geral para obter
em função de
, e depois esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Em crescimento exponencial contínuo, a taxa de variação da população satisfaz
onde
é a taxa de crescimento em unidades de an
. Como cresce
a.a., temos
Passo 3
A solução geral da equação
com condição inicial
é
Aqui
e
, portanto
Passo 4
Esta expressão responde à parte (a):
Passo 5
Para a parte (b), o gráfico de
em função de
é uma curva exponencial crescente, com as seguintes características:
Em
,
.
Para
, a curva sobe cada vez mais rápido (é côncava para cima).
O eixo horizontal representa o tempo
(em anos) e o eixo vertical a população
.
Não há assíntota horizontal diferente de zero; à medida que
,
.
Em um esboço, marca-se o ponto
e desenha-se uma curva suave que cresce lentamente no início e acelera com o passar dos anos.
Resposta
a)
b) Gráfico: curva exponencial que parte de , cresce monotonicamente e é côncava para cima.
b) Gráfico: curva exponencial que parte de