O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 8000 e cresce exponencialmente a uma taxa k ao ano. Se daqui a 20 anos o número de habitantes for 16000 , qual a taxa de crescimento anual?

Passo 1

O enunciado diz que a população de uma cidade hoje é 8000 habitantes e cresce segundo modelo exponencial à taxa k ao ano. Daqui a 20 anos essa população será 16000. O conteúdo envolve o modelo de crescimento exponencial e propriedades de logaritmos para isolar a taxa k.

Passo 2

O modelo de crescimento exponencial é
P(t) = P_{0} e^{k t},
onde P_{0}=8000 é a população inicial e P(20)=16000. Substituindo em t=20 temos
16000 = 8000\,e^{k\cdot 20}.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 8000 obtemos
e^{20k} = \frac{16000}{8000} = 2.
Para encontrar k, aplicamos logaritmo natural:
20k = \ln 2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{20}.

Passo 4

Calculando numericamente, usando \ln 2\approx0{,}6931,
k \approx \frac{0{,}6931}{20} = 0{,}03466.
Em percentual, isso equivale a
k \approx 3{,}466\%\text{ ao ano}.

Resposta

k = \frac{\ln 2}{20} \approx 0{,}03466\\ (\text{ano}^{-1}),
ou seja, cerca de 3{,}466\% ao ano.

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