Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty 2 n-1)n
g) lim n infty ln (n+1)ln (n)

Passo 1

Vamos verificar se a sequência limn infty ln(n+1)ln(n) converge. Para isso, vamos calcular o limite desse termo geral. O que precisamos aqui envolve conhecimento sobre limites e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que ln(n+1) pode ser reescrito como ln(n(1 + 1n)).

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo que diz ln(ab) = ln(a) + ln(b), temos:
ln(n(1 + 1n)) = ln(n) + ln(1 + 1n)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na nossa expressão original:
ln(n+1)ln(n) = ln(n) + ln(1 + 1n)ln(n) = 1 + ln(1 + 1n)ln(n)

Passo 5

Vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito. Sabemos que 1n tende a 0, então ln(1 + 1n) tende a ln(1) = 0.

Passo 6

Assim, o termo ln(1 + 1n)ln(n) tende a 0, porque o numerador tende a 0 e o denominador tende ao infinito.

Passo 7

Portanto, o limite da sequência é:
1 + 0 = 1

Resposta

O limite da sequência é 1.

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