O número de máquinas pesadas em operação simultânea em um grande canteiro de obras foi registrado em determinados intervalos ao longo do dia, com a seguinte distribuição de probabilidade:
x P(X=x)
1 0,1
2 0,3
3 0,4
4 0,2
(a) Calcule a média (valor esperado) da variável aleatória X.
(b) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta X que representa o número de máquinas pesadas em operação, com distribuição
P(X=1)=0,1,\quad P(X=2)=0,3,\quad P(X=3)=0,4,\quad P(X=4)=0,2.
Queremos calcular a média (valor esperado), a variância e o desvio padrão. Para isso usamos as definições:
E(X)=\sum_{x}x\,P(X=x),
E(X^2)=\sum_{x}x^2\,P(X=x),
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2,
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calcular o valor esperado \,E(X) somando cada valor de x vezes sua probabilidade:
E(X) =\;1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot0,4+4\cdot0,2 =0,1+0,6+1,2+0,8 =2,7.

Passo 3

Calcular E(X^2) somando cada x^2 vezes sua probabilidade:
E(X^2) =\;1^2\cdot0,1+2^2\cdot0,3+3^2\cdot0,4+4^2\cdot0,2 =0,1+1,2+3,6+3,2 =8,1.

Passo 4

Calcular a variância usando \mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2:
\mathrm{Var}(X) =8,1 - (2,7)^2 =8,1 - 7,29 =0,81.

Passo 5

Calcular o desvio padrão como a raiz da variância:
\sigma_X =\sqrt{0,81} =0,9.

Resposta

(a) E(X)=2,7
(b) \mathrm{Var}(X)=0,81 e \sigma_X=0,9

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