Questão 1 (2 pontos) Para cada número natural n \geq 1, considere uma partição do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2,
\operatorname{com} \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para cada item abaixo, decida se o somatório S_{R}(n) é uma soma de Riemann. Em caso afirmativo, expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral (não precisa calcular a integral):
(a) S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sqrt{1+2 x_{i}}

Passo 1

O enunciado trata de somas sobre a partição uniforme de [1,2] em n subintervalos de comprimento \Delta x=\tfrac1n e quer saber se
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\sqrt{1+2x_{i}}
é uma soma de Riemann. O conteúdo é a relação entre soma de Riemann e integral definida: uma soma de Riemann deve ter a forma
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})\,\Delta x_{i}.

Passo 2

Pela definição, uma soma de Riemann sobre [1,2] deve ser
\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\,\Delta x,
onde \Delta x=\tfrac1n e x_{i}^{*} é um ponto em cada subintervalo [x_{i-1},x_{i}].

Passo 3

No dado S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}\sqrt{1+2x_{i}} não aparece o fator \Delta x=\tfrac1n. Sem esse fator de largura dos subintervalos, a soma não tem a forma exigida de Riemann.

Resposta

S_{R}(n) não é uma soma de Riemann, pois falta o fator \Delta x em cada termo.

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