Qual é o número máximo de termos de uma progressão geométrica com razão maior que 1 cujos termos são todos inteiros entre 100 e 1000 inclusive?
Passo 1
O enunciado pede o maior número de termos
de uma progressão geométrica cujos termos são todos inteiros entre 100 e 1000 (inclusive) e cuja razão
satisfaz
. Vamos usar a forma geral do
-ésimo termo de uma PG e a condição de integridade dos termos quando
é racional.
Passo 2
Seja a PG
com
,
racional e todos os termos no intervalo
. Escrevemos em forma irreduzível
Para que cada termo
seja inteiro para
, é necessário que
. Então escrevemos
Passo 3
As condições de fronteira da PG são
e
Logo, para cada
e razão
temos
Deve existir algum inteiro
nesse intervalo para que a PG de comprimento
seja possível.
Passo 4
Tentar razão inteira
. As desigualdades ficam
Para
já temos
, impossível. Para
dá
, logo
com
:
.
Passo 5
Tentar razão
. As condições são
Para
temos
,
e
.
Portanto funciona, dando
Portanto
e a PG de seis termos
está inteiramente em
.
Passo 6
Verificamos que para
com
não existe
que satisfaça
. Testes com outras razões racionais aquém de
ou maiores que
não chegam a
. Logo a maior
possível é 6.