-6 Números inteiros positivos a, b e c são escolhidos aleatoriamente e independentemente, com reposição, do conjunto \{1,2,3, \ldots, 2025\}. Qual é a probabilidade de que a b c+a b+a seja divisível por 3 ?

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente e com reposição três inteiros a,b,c em \{1,2,\dots,2025\} e pede a probabilidade de
abc + ab + a
ser divisível por 3. O conteúdo aqui é probabilidade discreta com aritmética modular: vamos estudar resíduos de a,b,c módulo 3.

Passo 2

Como 2025=3\cdot675, cada uma das classes de resto \{0,1,2\} módulo 3 ocorre exatamente 675 vezes em \{1,\dots,2025\}. Logo \Pr(a\equiv r)= \tfrac13 para r\in\{0,1,2\}, e o mesmo vale para b e c, todos independentes. Definimos
A\equiv a\pmod3,\quad B\equiv b\pmod3,\quad C\equiv c\pmod3.

Passo 3

A condição 3\mid abc+ab+a é equivalente a
A\bigl(BC + B + 1\bigr)\equiv0\pmod3.
Chamando D\equiv BC+B+1\pmod3, temos A\,D\equiv0. Isso acontece se A\equiv0 ou, se A\not\equiv0, então precisa D\equiv0. Usando independência,
\Pr(A\,D\equiv0) =\Pr(A\equiv0)+\Pr(A\not\equiv0)\,\Pr(D\equiv0).

Passo 4

Vamos achar \Pr(D\equiv0) enumerando (B,C)\in\{0,1,2\}^2. Calculamos
D\equiv B\,C + B + 1 \equiv B(C+1)+1\pmod3.
  • Se B=0, então D\equiv1.
  • Se B=1, então D\equiv C+2, que é 0 só se C\equiv1.
  • Se B=2, então D\equiv2C, que é 0 só se C\equiv0.
    Logo há 2 pares favoráveis (B,C): (1,1) e (2,0) em um total de 9, então
\Pr(D\equiv0)=\frac{2}{9}.

Passo 5

Agora \Pr(A\equiv0)=\tfrac13 e \Pr(A\not\equiv0)=\tfrac23. Substituindo em
\Pr = \frac13 + \frac23\cdot\frac{2}{9} = \frac13 + \frac{4}{27} = \frac{9}{27} + \frac{4}{27} = \frac{13}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{27}

Exercícios relacionados