-6 Números inteiros positivos
e
são escolhidos aleatoriamente e independentemente, com reposição, do conjunto
. Qual é a probabilidade de que
seja divisível por 3 ?
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente e com reposição três inteiros
em
e pede a probabilidade de
ser divisível por 3. O conteúdo aqui é probabilidade discreta com aritmética modular: vamos estudar resíduos de
módulo 3.
Passo 2
Como
, cada uma das classes de resto
módulo 3 ocorre exatamente
vezes em
. Logo
=
para
, e o mesmo vale para
e
, todos independentes. Definimos
Passo 3
A condição
é equivalente a
Chamando
, temos
. Isso acontece se
ou, se
, então precisa
. Usando independência,
Passo 4
Vamos achar
enumerando
. Calculamos
- Se
, então . - Se
, então , que é só se . - Se
, então , que é só se .
Logo há 2 pares favoráveis: e em um total de 9, então
Passo 5
Agora
e
. Substituindo em