Sendo p>0, q>0 e p+q=1, prove que a série geométrica
p+q p+q^{2} p+q^{3} p+q^{4} p+\ldots
é convergente e que sua soma é igual a 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo p>0, q>0 e
p + q = 1,
a série infinita
p + q\,p + q^{2}p + q^{3}p + \cdots
é convergente e soma exatamente 1.
O conteúdo aqui é a série geométrica infinita cujo termo geral é a_{n}=p\,q^{n}. Para resolver vamos (1) identificar o termo inicial e a razão, (2) escrever a soma parcial e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita, e (3) passar ao limite quando o número de termos tende a infinito.

Passo 2

O primeiro passo é observar que, pelas hipóteses,
0<q<1,
portanto a série geométrica de razão q convergerá quando somarmos infinitos termos. O termo geral pode ser escrito como
a_{n}=p\,q^{n},\quad n=0,1,2,\dots
e a razão comum é q.

Passo 3

Seja
S_{N} = \sum_{n=0}^{N} p\,q^{n}
a soma dos primeiros N+1 termos. Pela fórmula da soma de uma PG finita temos
S_{N} = p\sum_{n=0}^{N}q^{n} = p\;\frac{1-q^{\,N+1}}{1-q}.

Passo 4

Como p+q=1, temos 1-q=p. Logo
S_{N} = p \;\frac{1-q^{\,N+1}}{p} =1 - q^{\,N+1}.
Para ver a soma da série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty. Como 0<q<1, resulta
\lim_{N\to\infty}q^{\,N+1}=0,
logo
\lim_{N\to\infty}S_{N} = \lim_{N\to\infty}\bigl(1 - q^{\,N+1}\bigr) =1.

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 1.

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