Sendo
e
, prove que a série geométrica
é convergente e que sua soma é igual a 1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
,
e
a série infinita
é convergente e soma exatamente
.
O conteúdo aqui é a série geométrica infinita cujo termo geral é . Para resolver vamos (1) identificar o termo inicial e a razão, (2) escrever a soma parcial e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita, e (3) passar ao limite quando o número de termos tende a infinito.
O conteúdo aqui é a série geométrica infinita cujo termo geral é
Passo 2
O primeiro passo é observar que, pelas hipóteses,
portanto a série geométrica de razão
convergerá quando somarmos infinitos termos. O termo geral pode ser escrito como
e a razão comum é
.
Passo 3
Seja
a soma dos primeiros
termos. Pela fórmula da soma de uma PG finita temos
Passo 4
Como
, temos
. Logo
Para ver a soma da série infinita, tomamos o limite quando
. Como
, resulta
logo
Resposta
A série converge e sua soma é igual a
.