O número médio de pessoas atendidas num banco é de 6 pessoas por hora. Qual é a probabilidade de que num dia ( 6 horas de atendimento) sejam atendidas
de 30 a 35 pessoas?

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem um problema sobre o número médio de pessoas atendidas em um banco, que é de 6 pessoas por hora. A pergunta é: qual a probabilidade de, num dia de 6 horas de atendimento, serem atendidas entre 30 e 35 pessoas? Vamos usar um pouco de estatística para resolver isso, especificamente a Distribuição de Poisson, que ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrendo em um intervalo fixo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a média diária de atendimento. Se o banco atende, em média, 6 pessoas por hora e funciona 6 horas por dia, a média total de pessoas atendidas por dia ( lambda) é:
lambda = 6 pessoas/hora times 6 horas = 36 pessoas

Passo 3

Agora, vamos usar a Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de atender exatamente k pessoas em um dia. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • P(k; lambda) é a probabilidade de atender exatamente k pessoas.
  • lambda é a média de pessoas atendidas (36 neste caso).
  • e é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de atender entre 30 e 35 pessoas, vamos calcular a soma das probabilidades para k = 30 até k = 35:
P(30 <= k <= 35) = sumk=30^35 36^k e^-36k!

Passo 5

Calcular cada termo individualmente pode ser trabalhoso, mas vamos exemplificar com k = 30:
P(30; 36) = 36^30 e^-3630!
Fazendo isso para k = 30 até k = 35 e somando todos os resultados, teremos a probabilidade desejada.

Passo 6

Porém, para simplificar os cálculos, podemos usar a aproximação normal, já que lambda é grande. A Distribuição Normal tem média mu = lambda = 36 e desvio padrão sigma = raizlambda = 6. Usamos a correção de continuidade para ajustar a discrição da Poisson:
P(30 <= k <= 35) approx P(29.5 - 366 <= Z <= 35.5 - 366)
Calculando os valores:
P(-1.083 <= Z <= -0.083)
Consultando a tabela da Distribuição Normal, encontramos as probabilidades correspondentes aos valores de Z e subtraímos:
P approx 0.1379 - 0.4678 = -0.3299
Como probabilidade não pode ser negativa, interpretamos o valor absoluto, resultando em aproximadamente 32,99%.

Resposta

A probabilidade de que, em um dia de 6 horas de atendimento, sejam atendidas entre 30 e 35 pessoas é de aproximadamente 33%.

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