Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar um certo tipo de câncer. Ele usa o teste em pacientes com câncer e pacientes sem câncer e obtém uma taxa de falsos positivos de 5 % (isto é, resultados positivos para pacientes sem câncer). Qual é a probabilidade de que em um grupo de 15 pessoas
nenhuma tenha resultado positivo sem ter câncer?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um teste de câncer que tem uma taxa de falsos positivos de 5%. Ou seja, 5% das vezes, o teste diz que a pessoa tem câncer quando na verdade não tem. A pergunta é: qual a chance de, em um grupo de 15 pessoas, nenhuma delas ter um resultado positivo sem realmente ter câncer? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma taxa de falso positivo. Uma taxa de 5% significa que, para cada pessoa sem câncer, há 5% de chance do teste dar positivo erroneamente. Isso também significa que há 95% de chance do teste dar negativo corretamente para cada pessoa.

Passo 3

Como estamos lidando com um grupo de 15 pessoas, e cada uma delas tem uma chance independente de 95% de dar negativo no teste, precisamos calcular a probabilidade de todas as 15 pessoas terem resultado negativo.

Passo 4

Quando queremos a probabilidade de eventos independentes todos acontecerem, multiplicamos as probabilidades individuais. Então, para 15 pessoas, fica assim:
0.95 times 0.95 times ldots times 0.95 (15 vezes)
Isso é o mesmo que elevar 0.95 à potência de 15:
0.95^15

Passo 5

Agora, vamos calcular esse valor:
0.95^15 approx 0.4633

Resposta

A probabilidade de que, em um grupo de 15 pessoas, nenhuma tenha resultado positivo sem ter câncer é aproximadamente 46,33%.

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