Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=c x^2, para X=(-1,1). Pede-se:
Obter Var X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = c x^2 $ no intervalo $ \mathcal{X} = (-1, 1) $. Nosso objetivo é encontrar a variância dessa variável aleatória, ou seja, $ \operatorname{Var} X $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade, expectativa matemática e variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos calcular:
c

Passo 3

Vamos resolver essa integral:
c integral-1^1 x^2 , dx = c [ x^33 ]-1^1 = c ( 1^33 - (-1)^33 ) = c ( 13 + 13 ) = 2c3

Passo 4

Igualando à 1 para encontrar $ c $:
c

Passo 5

Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, a função densidade fica:
c = 32

Passo 6

Para encontrar a variância $ \operatorname{Var} X $, usamos a fórmula:
Var X
Então, precisamos calcular a expectativa $ \mathbb{E}[X] $ e a expectativa de $ X^2 $, $ \mathbb{E}[X^2] $.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
E[X]

Passo 8

Resolvendo a integral:
32 [ x^44 ]-1^1 = 32 ( 14 - 14 ) = 32 cdot 0 = 0
Então, $ \mathbb{E}[X] = 0 $.

Passo 9

Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}[X^2] $:
E[X^2]

Passo 10

Resolvendo a integral:
32 [ x^55 ]-1^1 = 32 ( 15 - -15 ) = 32 cdot 25 = 35
Então, $ \mathbb{E}[X^2] = \frac{3}{5} $.

Passo 11

Agora, substituindo na fórmula da variância:
Var X = E[X^2] - (E[X])^2 = 35 - 0^2 = 35

Resposta

A variância de $ X $ é $ \operatorname{Var} X = \frac{3}{5} $.

Exercícios relacionados