Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
, para
. Pede-se:
Obter
Obter
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = c x^2 $ no intervalo $ \mathcal{X} = (-1, 1) $. Nosso objetivo é encontrar a variância dessa variável aleatória, ou seja, $ \operatorname{Var} X $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade, expectativa matemática e variância.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos calcular:
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Passo 4
Igualando à 1 para encontrar $ c $:
Passo 5
Agora que temos $ c = \frac{3}{2} $, a função densidade fica:
Passo 6
Para encontrar a variância $ \operatorname{Var} X $, usamos a fórmula:
Então, precisamos calcular a expectativa $ \mathbb{E}[X] $ e a expectativa de $ X^2 $, $ \mathbb{E}[X^2] $.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Então, $ \mathbb{E}[X] = 0 $.
Passo 9
Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}[X^2] $:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Então, $ \mathbb{E}[X^2] = \frac{3}{5} $.
Passo 11
Agora, substituindo na fórmula da variância:
Resposta
A variância de $ X $ é $ \operatorname{Var} X = \frac{3}{5} $.