Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=4 x^3 para X=(0,1). Obtenha:
A função risco

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória $ X $ com função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_{X}(x) = 4x^{3} $ para $ x $ no intervalo $ (0,1) $. Hoje, vamos aprender a encontrar a função risco, que é uma forma de avaliar a “probabilidade instantânea” de ocorrência de um evento, dado que ele não ocorreu até um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a função distribuição acumulada (FDA) e a função risco usando estas informações.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função distribuição acumulada (FDA), denotada por $ F_X(x) $, é a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $. Para encontrar $ F_X(x) $, vamos integrar a fdp de $ X $ de 0 até $ x $:
FX(x)

Passo 3

Vamos calcular a integral:
FX(x) = 4 integral0^x t^3 , dt = 4 [ t^44 ]0^x = 4 ( x^44 - 0 ) = x^4
Então, a FDA de $ X $ é $ F_X(x) = x^{4} $.

Passo 4

Agora, a função risco $ h(x) $ é definida como a razão entre a fdp $ f_X(x) $ e a função sobrevivência $ S(x) $, que é a probabilidade de $ X $ ser maior que $ x $. Vamos calcular $ S(x) $:
h(x)

Passo 5

Com $ f_X(x) $ e $ S(x) $ em mãos, podemos encontrar a função risco $ h(x) $:
fX(x)

Resposta

A função risco é dada por $ h(x) = \dfrac{4x^{3}}{1 - x^{4}} $ para $ x $ no intervalo $ (0,1) $.

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