Uma padaria comercializa pastéis folhados de 3 sabores: carne, frango e presunto & queijo. Se um cliente pretende comprar sete desses pastéis, de quantas maneiras diferentes pode definir os sabores do pedido?

Passo 1

Beleza, o problema diz que uma padaria vende pastéis em 3 sabores (carne, frango e presunto & queijo) e o cliente quer levar 7 deles. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes dá pra escolher esses 7 pastéis, considerando que a ordem não importa (ou seja, só conta quantos de cada sabor).
Conteúdo: combinatória – especificamente combinações com repetição (o famoso “estrelas e barras”). A gente vai precisar da fórmula
binomn + k - 1k - 1
onde é o número de itens (7 pastéis) e o número de categorias (3 sabores).

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir em variáveis: seja
x1 = quantos pastéis de carne, x2 = quantos de frango, x3 = quantos de presunto & queijo é
A condição é que e cada é um inteiro ≥ 0.

Passo 3

Agora, a teoria do “estrelas e barras”: o número de soluções inteiras não negativas da equação
x1 + x2 + dots + xk = n
é dado por
binomn + k - 1k - 1
Aqui, “estrelas” são os itens (os 7 pastéis) e “barras” são as divisões entre categorias (os 2 cortes que separam 3 sabores).

Passo 4

Substituindo binom7 + 3 - 13 - 1 = binom92 e binom92 = 9!2!,7! = 9times82times1 = 36 na fórmula:
E a gente sabe que

Resposta

Logo, existem 36 maneiras diferentes de escolher os sabores dos 7 pastéis.

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