Questão 4: Calcule a integral dupla passando para coordenadas polares
I=integral duplaD raiza^2-x^2-y^2 d x d y
onde D é a metade superior do disco x^2+y^2 <= a x, a>0.
resp: a^33(pi2-23)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla I=integral duplaDraiza^2-x^2-y^2,dx,dysobre o domínio D, que é a metade superior do disco x{2}+y{2}\le a x. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano e a descrição do domínio em termos de r e θ.

Passo 2

Para descrever D em coordenadas polares, escrevemos x=r\cosθ, y=r\sinθ e a condição do disco fica r^{2}\le a r\cosθ, ou seja 0\le r\le a\cosθ. Como queremos a metade superior (y\ge0), θ varia de 0 até π/2.
Em coordenadas polares, dx,dy vira r,dr,dθ e a integral fica:
I=integralθ=0^π/2integralr=0^acosθraiza^2-r^2,r,dr,dθ

Passo 3

Para a integral interna em r, usamos a substituição u=a{2}-r{2}, de modo que du=-2r,dr. Isso leva a
integral0^acosθraiza^2-r^2,r,dr=a^33l(1-sin^3θr)

Passo 4

Agora a integral em θ é integral0^pi/2(1-sin^3θ),dθ. Sabendo que integral0^pi/2sin^3θ,dθ=2/3, temos
integral0^pi/2(1-sin^3θ),dθ=pi2-23Basta então multiplicar esse resultado pelo fator externo tfraca^33 obtido na etapa anterior para chegar ao valor final da integral.

Resposta

I=a^33l(pi2-23r)

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