Questão 4: Calcule a integral dupla passando para coordenadas polares
onde
é a metade superior do disco
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre o domínio D, que é a metade superior do disco x{2}+y{2}\le a x. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando o jacobiano e a descrição do domínio em termos de r e θ.
Passo 2
Para descrever D em coordenadas polares, escrevemos x=r\cosθ, y=r\sinθ e a condição do disco fica r^{2}\le a r\cosθ, ou seja 0\le r\le a\cosθ. Como queremos a metade superior (y\ge0), θ varia de 0 até π/2.
Em coordenadas polares, dx,dy vira r,dr,dθ e a integral fica:
Em coordenadas polares, dx,dy vira r,dr,dθ e a integral fica:
Passo 3
Para a integral interna em r, usamos a substituição u=a{2}-r{2}, de modo que du=-2r,dr. Isso leva a
Passo 4
Agora a integral em θ é
. Sabendo que
, temos