Um número par é um número em Z da forma 2 n, com n in Z. Um número ímpar é um número em Z da forma 2 m+1, com m in Z. Por exemplo, 9=2 cdot 4+1. Logo 9 é ímpar.
Prove que o produto de um número par com um número ímpar é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos um número par e um número ímpar em ℤ, seu produto também é par. O conteúdo envolve a definição de paridade e manipulação algébrica básica.

Passo 2

Pela definição, todo número par pode ser escrito como a=2n e todo número ímpar como b=2m+1, onde n,minZ.

Passo 3

Calculamos o produto:
Aqui, ab = (2n),(2m+1) = 4nm + 2n = 2l(2nm + n) é um inteiro, pois soma e produto de inteiros são inteiros.

Passo 4

Concluímos que ab pode ser escrito na forma 2k com k=2nm+ninZ. Portanto, pelo critério de paridade, ab é par.

Resposta

Como ab = 2(2nm+n) com 2nm+ninZ, o produto de um número par por um número ímpar é par.

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