Seja v=r|r|^3, onde r=x i+y j+z k. Calcule integral duplaS v cdot N d sigma, onde N é a normal unitária exterior a S nos seguintes casos:
(a) S é a esfera de raio a>0 com centro na origem;
(b) S é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a S nem à região interior a S;
© S é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.

Passo 1

Vamos calcular o fluxo de vec v=vec r|r|^3 através de superfícies fechadas usando o Teorema da Divergência e, quando útil, integração direta em casos de simetria.

Passo 2

O Teorema da Divergência afirma que, para uma superfície fechada S que envolve um volume V sem singularidades internas, vale:
iintS vec vcdotvec N,dsigma = integral triplaV nablacdotvec v,dV

Passo 3

Vamos calcular nablacdotvec v para vec v=dfracvec rr^3, com r=raizx^2+y^2+z^2. Para rneq0 obtemos:
nablacdotl(vec rr^3r)=0
Isso mostra que não há contribuição de volume quando a origem não está dentro de V, mas há uma singularidade em r=0.

Passo 4

Caso (a): se S é a esfera de raio a>0 centrada na origem, podemos integrar diretamente. Em cada ponto da esfera, vec N=hat r e vec vcdotvec N=1/a^2. A área da esfera é 4pi a^2, logo
iintS vec vcdotvec N,dsigma = 1a^2,4pi a^2 =4pi

Passo 5

Casos (b) e ©:
  • Se a superfície não envolve a origem, podemos aplicar o Teorema da Divergência num volume sem singularidade, obtendo fluxo zero.
  • Se a superfície envolve a origem, o único “fluxo perdido” está na singularidade em r=0. Esse fluxo é o mesmo que encontramos na esfera de qualquer raio centrada na origem, ou seja, 4pi.

Resposta

(a) 4pi. (b) 0. © 4pi.

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