Seja
, onde
. Calcule
, onde
é a normal unitária exterior a
nos seguintes casos:
(a)
é a esfera de raio
com centro na origem;
(b)
é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a
nem à região interior a
;
©
é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos calcular o fluxo de
através de superfícies fechadas usando o Teorema da Divergência e, quando útil, integração direta em casos de simetria.
Passo 2
O Teorema da Divergência afirma que, para uma superfície fechada
que envolve um volume
sem singularidades internas, vale:
Passo 3
Vamos calcular
para
, com
. Para
obtemos:
Isso mostra que não há contribuição de volume quando a origem não está dentro de
, mas há uma singularidade em
.
Passo 4
Caso (a): se
é a esfera de raio
centrada na origem, podemos integrar diretamente. Em cada ponto da esfera,
e
. A área da esfera é
, logo
Passo 5
Casos (b) e ©:
- Se a superfície não envolve a origem, podemos aplicar o Teorema da Divergência num volume sem singularidade, obtendo fluxo zero.
- Se a superfície envolve a origem, o único “fluxo perdido” está na singularidade em
. Esse fluxo é o mesmo que encontramos na esfera de qualquer raio centrada na origem, ou seja, .
Resposta
(a)
. (b)
. ©
.