O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um período especificado, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, ou seja, P(X=k)=e^-lambda lambda^kk!, para k= 0,1,2, ldots. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1 / 4, qual a probabilidade de que mais que 2 emissões ocorram?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte radioativa que emite partículas de forma aleatória, e o número de partículas emitidas segue uma distribuição de Poisson. A gente sabe que a probabilidade de não haver nenhuma emissão (ou seja, zero partículas) é $ \frac{1}{4} $. A pergunta é: qual a probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões de partículas?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e usar a fórmula dela para calcular as probabilidades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ emissões, $ \lambda $ é a média de emissões que esperamos, $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718), e $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de não haver emissões é $ \frac{1}{4} $. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ \lambda $.
Para $ k = 0 $:
14
Então,
lambda
Para encontrar $ \lambda $, tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
k = 0
Calculando:
P(X = 0) = e^-lambda lambda^00! = e^-lambda = 14

Passo 4

Agora que temos $ \lambda $, vamos calcular as probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 emissões.
Para $ k = 0 $:
lambda
Para $ k = 1 $:
k = 0
Para $ k = 2 $:
P(X = 0) = e^-1,386 cdot 1,386^00! = e^-1,386 approx 0,25

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões, ou seja, $ P(X > 2) $. Sabemos que:
P(X > 2)
Substituindo os valores que calculamos:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))

Resposta

A probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões é aproximadamente 16,35%.

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