O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um período especificado, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, ou seja,
, para
. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a
, qual a probabilidade de que mais que 2 emissões ocorram?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte radioativa que emite partículas de forma aleatória, e o número de partículas emitidas segue uma distribuição de Poisson. A gente sabe que a probabilidade de não haver nenhuma emissão (ou seja, zero partículas) é $ \frac{1}{4} $. A pergunta é: qual a probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões de partículas?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e usar a fórmula dela para calcular as probabilidades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson:
Aqui, $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ emissões, $ \lambda $ é a média de emissões que esperamos, $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718), e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de não haver emissões é $ \frac{1}{4} $. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ \lambda $.
Para $ k = 0 $:
Então,
Para encontrar $ \lambda $, tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:
Passo 4
Agora que temos $ \lambda $, vamos calcular as probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 emissões.
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões, ou seja, $ P(X > 2) $. Sabemos que:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A probabilidade de ocorrerem mais de 2 emissões é aproximadamente 16,35%.