Seja X uma variável aleatória com a função de distribuição acumulada dada a seguir:
FX(x)= 0 & se x<1 0,2 & se 1 <= x<4 0,5 & se 4 <= x<9 0,9 & se 9 <= x<16 1 & se x >= 16
Determine P(X>2 mid X <= 13).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a probabilidade de $ X > 2 $ dado que $ X \leq 13 $. Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, que é um conceito da teoria das probabilidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional $ P(A \mid B) $ é calculada como $ \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $. No nosso caso, $ A $ é o evento $ X > 2 $ e $ B $ é o evento $ X \leq 13 $. Então, precisamos encontrar $ P(2 < X \leq 13) $ e $ P(X \leq 13) $.

Passo 3

Vamos calcular $ P(X \leq 13) $ usando a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Observando a tabela dada:
  • Para $ x = 13 $, que está no intervalo $ 9 \leq x < 16 $, temos $ F_X(13) = 0,9 $.
Então, $ P(X \leq 13) = 0,9 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(2 < X \leq 13) $. Isso é igual a $ F_X(13) - F_X(2) $.
  • Para $ x = 2 $, que está no intervalo $ 1 \leq x < 4 $, temos $ F_X(2) = 0,2 $.
Então, $ P(2 < X \leq 13) = 0,9 - 0,2 = 0,7 $.

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(X > 2 mid X <= 13) = P(2 < X <= 13)P(X <= 13) = 0,70,9 approx 0,78

Resposta

$ P(X > 2 \mid X \leq 13) \approx 0,78 $

Exercícios relacionados