Uma variável aleatória
pode tomar quatro valores, com probabilidades
. Para que valores de
é esta uma distribuição de probabilidade?
Passo 1
Beleza, vamos ver o exercício que você trouxe. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir quatro valores diferentes, e as probabilidades associadas a cada valor são dadas por:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ x $ isso faz sentido como uma distribuição de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que:
- Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
- A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos usar esses dois pontos para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma das probabilidades realmente dá 1. Somando todas elas:
Juntando os numeradores:
Então, a soma está correta, satisfazendo a segunda condição.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que cada probabilidade individual seja maior ou igual a zero. Vamos analisar cada uma:
-
Como o denominador 11 é positivo, basta que o numerador seja não negativo: -
Novamente, o denominador é positivo: -
-
Passo 4
Agora, vamos juntar todas essas condições para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem todas elas ao mesmo tempo:
Observando essas desigualdades, vemos que as mais restritivas são $ x \geq -\frac{1}{3} $ e $ x \leq \frac{1}{2} $. As outras condições já estão incluídas dentro desse intervalo.
Resposta
Os valores de $ x $ que tornam a distribuição válida são todos os reais entre
e
. Ou seja,