Uma variável aleatória X pode tomar quatro valores, com probabilidades 1+3 x11, 2-4 x11, 3-x11, 5+2 x11. Para que valores de x é esta uma distribuição de probabilidade?

Passo 1

Beleza, vamos ver o exercício que você trouxe. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir quatro valores diferentes, e as probabilidades associadas a cada valor são dadas por:
X
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ x $ isso faz sentido como uma distribuição de probabilidade. Para isso, precisamos lembrar que:
  1. Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos usar esses dois pontos para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a soma das probabilidades realmente dá 1. Somando todas elas:
1 + 3x11 + 2 - 4x11 + 3 - x11 + 5 + 2x11
Juntando os numeradores:
(1 + 2 + 3 + 5) + (3x - 4x - x + 2x)11 = 11 + 011 = 1
Então, a soma está correta, satisfazendo a segunda condição.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que cada probabilidade individual seja maior ou igual a zero. Vamos analisar cada uma:
  1. 1 + 3x11 >= 0
    Como o denominador 11 é positivo, basta que o numerador seja não negativo:
    1 + 3x >= 0 implies x >= -13
  2. 2 - 4x11 >= 0
    Novamente, o denominador é positivo:
    2 - 4x >= 0 implies 4x <= 2 implies x <= 12
  3. 3 - x11 >= 0
    3 - x >= 0 implies x <= 3
  4. 5 + 2x11 >= 0
    5 + 2x >= 0 implies x >= -52

Passo 4

Agora, vamos juntar todas essas condições para encontrar os valores de $ x $ que satisfazem todas elas ao mesmo tempo:
x
Observando essas desigualdades, vemos que as mais restritivas são $ x \geq -\frac{1}{3} $ e $ x \leq \frac{1}{2} $. As outras condições já estão incluídas dentro desse intervalo.

Resposta

Os valores de $ x $ que tornam a distribuição válida são todos os reais entre x e -13. Ou seja,
12

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