Seja uma variável aleatória com a função de distribuição acumulada dada a seguir:
Determine P(X>5).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ com uma função de distribuição acumulada (FDA) definida por partes. O exercício quer que a gente encontre a probabilidade de $ X $ ser maior que 5, ou seja, $ P(X > 5) $. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de distribuição acumulada e como ela nos ajuda a calcular probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, representada por $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, isso é expresso como:
FX(x)
No nosso caso, a FDA está definida por partes para diferentes intervalos de $ x $. Vamos utilizar essa função para encontrar $ P(X > 5) $.
Passo 3
Queremos encontrar $ P(X > 5) $. Sabemos que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é 1. Assim, podemos expressar $ P(X > 5) $ como:
P(X > 5)
Aqui, $ P(X \leq 5) $ é exatamente a definição da FDA em $ x = 5 $, ou seja, $ F_X(5) $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ F_X(5) $ usando a definição da FDA fornecida na questão:
FX(5)
Como 5 está no intervalo $ 4 \leq x < 9 $, temos:
FX(x)= 0 & se x < 1 0,2 & se 1 <= x < 4 0,5 & se 4 <= x < 9 0,9 & se 9 <= x < 16 1 & se x >= 16
Passo 5
Agora que sabemos que $ F_X(5) = 0,5 $, podemos voltar à nossa equação anterior para encontrar $ P(X > 5) $: