O número de partículas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuição de Poisson com lambda=0,5 partículas por segundo.
a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em um segundo;
b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partícula em um segundo;
c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em três segundos;
d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no máximo duas partículas em 3 segundos;
e) Uma chapa fotográfica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas. Se 5 chapas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada?
Resp.: a) 0, 3033 ; b) 0, 0902 ; c) 0, 3347 ; d) 0, 8088 ; e) 0,2873.

Passo 1

O enunciado diz que o número de partículas segue distribuição de Poisson com taxa lambda=0,5 partículas por segundo. Vamos usar a fórmula da Poisson para calcular as várias probabilidades pedidas.

Passo 2

A função de massa de probabilidade da Poisson é dada por
P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk!
Para o intervalo de 1 segundo, usamos lambda1=0,5.

Passo 3

Para o item (a), queremos P(X=1) em 1 segundo. Aplicando a fórmula:
P(X=1)=e^-0,5(0,5)^11!=0,3033

Passo 4

No item (b), pedem P(X>1) em 1 segundo. Como
P(X>1)=1-P(X<=1)=1-[P(X=0)+P(X=1)],
vemos que
P(X>1)=1-e^-0,5l(1+0,5r)=0,0902

Passo 5

Para os itens em 3 segundos, a taxa é lambda3=3times0,5=1,5. No item (c) queremos P(Y=1) com YsimPoisson(1,5):
P(Y=1)=e^-1,5(1,5)^11!=0,3347

Passo 6

No item (d), queremos P(Y<=2) em 3 segundos. Calculamos
P(Y<=2)=P(0)+P(1)+P(2)=e^-1,5l(1 + 1,5 + tfrac1,5^22r)=0,8088

Passo 7

No item (e), cada chapa fica exposta por 2 segundos, logo lambda2=2times0,5=1. A chapa é sensibilizada se receber >=3 partículas. Primeiro achamos
p=P(Z>=3)=1-[P(Z=0)+P(Z=1)+P(Z=2)]
com ZsimPoisson(1). Isso dá p=0,0803. Como são 5 chapas independe ntes, a probabilidade de exatamente uma ser sensibilizada é binomial:
P(1 sensibilizada)=binom51p(1-p)^4=0,2873

Resposta

a) 0,3033; b) 0,0902; c) 0,3347; d) 0,8088; e) 0,2873

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