O peso de um produto tem distribuição Normal com média 500 g e desvio padrão 36 g . Qual a probabilidade de que um item deste produto escolhido ao acaso desta população tenha peso:
Qual o peso do produto que deixa
abaixo?
Qual o peso do produto que deixa
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos diz que o peso de um produto segue uma distribuição Normal com média de 500g e desvio padrão de 36g. O que precisamos encontrar é o peso que deixa 75% dos produtos abaixo dele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição Normal e tabelas de valores z.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa encontrar o peso que deixa 75% abaixo. Basicamente, estamos procurando o 75º percentil dessa distribuição Normal. Isso quer dizer que queremos um valor $ x $ tal que a probabilidade de um produto ter peso menor ou igual a $ x $ é de 75%.
Passo 3
Para encontrar esse valor $ x $, vamos converter o problema para a escala padrão da distribuição Normal, ou seja, vamos usar a transformação do escore z. A fórmula para transformar um valor $ x $ em z é:
Onde:
- $ \mu $ é a média (500g)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (36g)
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de $ z $ que corresponde a uma área de 0,75 à esquerda na distribuição Normal padrão. Usando uma tabela z ou uma calculadora, descobrimos que $ z $ aproximadamente igual a 0,674.
Passo 5
Com o valor de $ z $ encontrado, usamos a fórmula da transformação inversa para encontrar $ x $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Fazendo as contas:
Resposta
Portanto, o peso do produto que deixa 75% abaixo é aproximadamente 524,26 gramas.