O peso de um produto tem distribuição Normal com média 500 g e desvio padrão 36 g . Qual a probabilidade de que um item deste produto escolhido ao acaso desta população tenha peso:
Qual o peso do produto que deixa 75 % abaixo?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que o peso de um produto segue uma distribuição Normal com média de 500g e desvio padrão de 36g. O que precisamos encontrar é o peso que deixa 75% dos produtos abaixo dele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição Normal e tabelas de valores z.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa encontrar o peso que deixa 75% abaixo. Basicamente, estamos procurando o 75º percentil dessa distribuição Normal. Isso quer dizer que queremos um valor $ x $ tal que a probabilidade de um produto ter peso menor ou igual a $ x $ é de 75%.

Passo 3

Para encontrar esse valor $ x $, vamos converter o problema para a escala padrão da distribuição Normal, ou seja, vamos usar a transformação do escore z. A fórmula para transformar um valor $ x $ em z é:
x
Onde:
  • $ \mu $ é a média (500g)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (36g)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de $ z $ que corresponde a uma área de 0,75 à esquerda na distribuição Normal padrão. Usando uma tabela z ou uma calculadora, descobrimos que $ z $ aproximadamente igual a 0,674.

Passo 5

Com o valor de $ z $ encontrado, usamos a fórmula da transformação inversa para encontrar $ x $:
z
Substituindo os valores:
x

Passo 6

Fazendo as contas:
x = 24,264 + 500 = 524,264

Resposta

Portanto, o peso do produto que deixa 75% abaixo é aproximadamente 524,26 gramas.

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