O número N de pessoas que entram diariamente em um pequeno mercado, nos 10 primeiros dias do mês de novembro, foi modelado segundo a função N(t)=15 t^{2}-60 t+370, onde 1 \leq t \leq 10. Em que dia o mercado recebe o menor número de clientes nesse período?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5

Passo 1

O enunciado dá o número de clientes diário no mercado modelado pela função
N(t)=15\,t^{2}-60\,t+370,
com 1\le t\le10. Queremos descobrir em qual dia desse intervalo N(t) atinge o valor mínimo. Como se trata de uma função quadrática, usaremos a fórmula do vértice para localizar o mínimo.

Passo 2

Para uma parábola f(t)=a\,t^{2}+b\,t+c com a>0, o ponto de mínimo ocorre em
t_{v}=-\frac{b}{2a}.
Aqui temos a=15 e b=-60, e como a>0 a parábola abre para cima, garantindo que o vértice é de fato mínimo.

Passo 3

Aplicando a fórmula do vértice:
t_{v}=-\frac{-60}{2\cdot15}=\frac{60}{30}=2.

Passo 4

Como t_{v}=2 está dentro do domínio [1,10], basta conferir que em t=2 o valor é menor do que nos dias vizinhos inteiros. Calculamos: \;N(1)=15\cdot1^{2}-60\cdot1+370=325, \;N(2)=15\cdot2^{2}-60\cdot2+370=310, \;N(3)=15\cdot3^{2}-60\cdot3+370=325.
De fato N(2)=310 é o menor valor.

Resposta

(b)

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