Suponha que, numa fábrica de calçados, o custo total da produção, em reais, é dado por \mathrm{C}(x)=x^{2}-40 x+500, em que x é a quantidade de calçados produzidos.
Nesse contexto, é CORRETO afirmar que:
(a) a produção de 100 calçados é a que realiza o custo máximo da produção.
(b) a produção de 20 calçados é a que realiza o custo minimo da produção.
(c) quando são produzidos 40 calçados, o custo total da produção é R \ 1.600,00 . (d) o custo máximo da produção é de \(\mathrm{R} \\) 500,00.
(e) o custo mínimo da produção é de \mathrm{R} \ 150,00$.

Passo 1

O enunciado dá o custo total como a função quadrática
C(x)=x^{2}-40x+500
onde x é o número de calçados. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, sabemos que o gráfico é uma parábola voltada para cima, ou seja, há um ponto de mínimo (não há máximo).

Passo 2

Para encontrar a produção que minimiza o custo usamos a fórmula do vértice da parábola
x_{v} = -\frac{b}{2a}
aqui a=1 e b=-40, logo
x_{v} = -\frac{-40}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20.
Portanto, a produção de 20 pares de calçados é a que realiza o custo mínimo.

Passo 3

Vamos verificar rapidamente as demais afirmações:
– Custo mínimo:
C(20)=20^{2}-40\cdot20+500=400-800+500=100,
logo o mínimo não é R\$150,00 (descarta (e)).
– Custo em x=40:
C(40)=40^{2}-40\cdot40+500=1600-1600+500=500,
não é R\$1.600,00 (descarta (c)).
– Não existe custo máximo finito (descarta (a) e (d)).

Resposta

(b) a produção de 20 calçados é a que realiza o custo mínimo da produção.

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