Um número x in R é racional quando existem p, q in Z=ldots,-3,-2,-1,0,1,2, ldots, com q neq 0 tais que x=pq. Por exemplo, todas as dízimas periódicas do exercício (1) são números racionais. Denotamos por Q=o conjunto dos números racionais. Um número real que não é racional é dito irracional.
(a) Prove que raiz2 não é racional.
Dica: suponha que raiz2 é racional. Então existem p, q in Z tais que raiz2=pq. É claro que podemos supor que mdc(p, q)=1, isto é, que a fração pq é irredutível (pense em -24=-12, por exemplo). Daí, elevando ao quadrado, 2=p^2q^2. E ficamos com p^2=2 q^2. Isto é, p^2 é par e, portanto, p é par (use o exercício (2)). Isto é p=2 k, para algum k in Z.
Lembrando ainda que p^2=2 q^2, segue que 4 k^2=2 q^2. Daí q^2=2 k^2, seguindo que q é par, isto é, q=2 j, para algum j in Z. Isto é, p=2 k e q=2 j. Mas isto contradiz o fato da fração pq ser irredutível. Logo raiz2 não pode ser racional.
(b) Use a ideia acima para provar que raiz3 é irracional
© Generalise mais um pouco, provando que raizp não é racional, se p in N for um número primo.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai mostrar que alguns números que parecem legais, tipo raiz2, raiz3 e, mais geral, raizp com p primo, não podem ser escritos como p/q com p,qinZ e qneq0. O conteúdo é número racional versus irracional e vamos usar argumentos de divisibilidade e propriedades de primos.

Passo 2

Prova de que raiz2 é irracional: suponha, por contradição, que raiz2inQ. Então existem p,qinZ, qneq0, com gcd(p,q)=1, tais que
[\sqrt{2}=\frac{p}{q}.]
Elevando ao quadrado, vem
[p{2}=2q{2}.]
Isso mostra que p^2 é par, e pelo exercício anterior isso implica que p é par. Logo p=2k para algum kinZ. Substituindo de volta,
[4k{2}=2q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=2k{2}.]
Assim q^2 é par, logo q também é par. Isso significa que 2 divide simultaneamente p e q, contradizendo gcd(p,q)=1. Logo raiz2 não é racional.

Passo 3

Prova de que raiz3 é irracional: o mesmo esquema vale trocando 2 por 3. Suponha raiz3=p/q com p,q inteiros coprimos. Ao quadrado,
[p{2}=3q{2}.]
Então 3 divide p^2. Como 3 é primo, se 3mid p^2 então 3mid p. Escreva p=3k. Substituindo,
[9k{2}=3q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=3k{2},]
então 3mid q. Assim 3 divide ambos p e q, contradizendo a irreduzibilidade. Logo raiz3 é irracional.

Passo 4

Generalização para raizp com p primo: suponha por contradição que raizp=p'/q' com p',q' coprimos. Elevando ao quadrado,
[p’p’=pq’^{2}\quad\Longrightarrow\quad p,q’{2}=p’{2}.]
Daqui p divide p'^2. Como p é primo, pela propriedade de primos, pmid p'. Escreva p'=p,k. Então
[p,q’{2}=p{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad q’{2}=p,k{2},]
e assim pmid q'. Logo p divide simultaneamente p' e q', mas isso contradiz gcd(p',q')=1. Portanto não existe fração que represente raizp.

Resposta

Concluímos que raiz2, raiz3 e, de modo geral, raizp para p primo não são números racionais.

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