Um número
é racional quando existem
, com
tais que
. Por exemplo, todas as dízimas periódicas do exercício (1) são números racionais. Denotamos por
conjunto dos números racionais. Um número real que não é racional é dito irracional.
(a) Prove que
não é racional.
Dica: suponha que
é racional. Então existem
tais que
. É claro que podemos supor que
, isto é, que a fração
é irredutível (pense em
, por exemplo). Daí, elevando ao quadrado,
. E ficamos com
. Isto é,
é par e, portanto,
é par (use o exercício (2)). Isto é
, para algum
.
Lembrando ainda que
, segue que
. Daí
, seguindo que
é par, isto é,
, para algum
. Isto é,
e
. Mas isto contradiz o fato da fração
ser irredutível. Logo
não pode ser racional.
(b) Use a ideia acima para provar que
é irracional
© Generalise mais um pouco, provando que
não é racional, se
for um número primo.
(a) Prove que
Lembrando ainda que
(b) Use a ideia acima para provar que
© Generalise mais um pouco, provando que
Passo 1
Nesse exercício a gente vai mostrar que alguns números que parecem legais, tipo
,
e, mais geral,
com
primo, não podem ser escritos como
com
e
. O conteúdo é número racional versus irracional e vamos usar argumentos de divisibilidade e propriedades de primos.
Passo 2
Prova de que
é irracional: suponha, por contradição, que
. Então existem
,
, com
, tais que
[\sqrt{2}=\frac{p}{q}.]
Elevando ao quadrado, vem
[p{2}=2q{2}.]
Isso mostra que é par, e pelo exercício anterior isso implica que
é par. Logo
para algum
. Substituindo de volta,
[4k{2}=2q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=2k{2}.]
Assim é par, logo
também é par. Isso significa que
divide simultaneamente
e
, contradizendo
. Logo
não é racional.
[\sqrt{2}=\frac{p}{q}.]
Elevando ao quadrado, vem
[p{2}=2q{2}.]
Isso mostra que
[4k{2}=2q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=2k{2}.]
Assim
Passo 3
Prova de que
é irracional: o mesmo esquema vale trocando
por
. Suponha
com
inteiros coprimos. Ao quadrado,
[p{2}=3q{2}.]
Então divide
. Como
é primo, se
então
. Escreva
. Substituindo,
[9k{2}=3q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=3k{2},]
então . Assim
divide ambos
e
, contradizendo a irreduzibilidade. Logo
é irracional.
[p{2}=3q{2}.]
Então
[9k{2}=3q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=3k{2},]
então
Passo 4
Generalização para
com
primo: suponha por contradição que
com
coprimos. Elevando ao quadrado,
[p’p’=pq’^{2}\quad\Longrightarrow\quad p,q’{2}=p’{2}.]
Daqui divide
. Como
é primo, pela propriedade de primos,
. Escreva
. Então
[p,q’{2}=p{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad q’{2}=p,k{2},]
e assim . Logo
divide simultaneamente
e
, mas isso contradiz
. Portanto não existe fração que represente
.
[p’p’=pq’^{2}\quad\Longrightarrow\quad p,q’{2}=p’{2}.]
Daqui
[p,q’{2}=p{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad q’{2}=p,k{2},]
e assim
Resposta
Concluímos que
,
e, de modo geral,
para
primo não são números racionais.