Um número 
  é racional quando existem 
 , com 
  tais que 
 . Por exemplo, todas as dízimas periódicas do exercício (1) são números racionais. Denotamos por 
  conjunto dos números racionais. Um número real que não é racional é dito irracional.
(a) Prove que 
  não é racional.
Dica: suponha que 
  é racional. Então existem 
  tais que 
 . É claro que podemos supor que 
 , isto é, que a fração 
  é irredutível (pense em 
 , por exemplo). Daí, elevando ao quadrado, 
 . E ficamos com 
 . Isto é, 
  é par e, portanto, 
  é par (use o exercício (2)). Isto é 
 , para algum 
 .
Lembrando ainda que 
 , segue que 
 . Daí 
 , seguindo que 
  é par, isto é, 
 , para algum 
 . Isto é, 
  e 
 . Mas isto contradiz o fato da fração 
  ser irredutível. Logo 
  não pode ser racional.
(b) Use a ideia acima para provar que 
  é irracional
© Generalise mais um pouco, provando que 
  não é racional, se 
  for um número primo.
(a) Prove que
Lembrando ainda que
(b) Use a ideia acima para provar que
© Generalise mais um pouco, provando que
Passo 1
Nesse exercício a gente vai mostrar que alguns números que parecem legais, tipo 
 , 
  e, mais geral, 
  com 
  primo, não podem ser escritos como 
  com 
  e 
 . O conteúdo é número racional versus irracional e vamos usar argumentos de divisibilidade e propriedades de primos.
Passo 2
Prova de que 
  é irracional: suponha, por contradição, que 
 . Então existem 
 , 
 , com 
 , tais que
[\sqrt{2}=\frac{p}{q}.]
Elevando ao quadrado, vem
[p{2}=2q{2}.]
Isso mostra que  é par, e pelo exercício anterior isso implica que 
  é par. Logo 
  para algum 
 . Substituindo de volta,
[4k{2}=2q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=2k{2}.]
Assim  é par, logo 
  também é par. Isso significa que 
  divide simultaneamente 
  e 
 , contradizendo 
 . Logo 
  não é racional.
[\sqrt{2}=\frac{p}{q}.]
Elevando ao quadrado, vem
[p{2}=2q{2}.]
Isso mostra que
[4k{2}=2q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=2k{2}.]
Assim
Passo 3
Prova de que 
  é irracional: o mesmo esquema vale trocando 
  por 
 . Suponha 
  com 
  inteiros coprimos. Ao quadrado,
[p{2}=3q{2}.]
Então  divide 
 . Como 
  é primo, se 
  então 
 . Escreva 
 . Substituindo,
[9k{2}=3q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=3k{2},]
então . Assim 
  divide ambos 
  e 
 , contradizendo a irreduzibilidade. Logo 
  é irracional.
[p{2}=3q{2}.]
Então
[9k{2}=3q{2}\quad\Rightarrow\quad q{2}=3k{2},]
então
Passo 4
Generalização para 
  com 
  primo: suponha por contradição que 
  com 
  coprimos. Elevando ao quadrado,
[p’p’=pq’^{2}\quad\Longrightarrow\quad p,q’{2}=p’{2}.]
Daqui  divide 
 . Como 
  é primo, pela propriedade de primos, 
 . Escreva 
 . Então
[p,q’{2}=p{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad q’{2}=p,k{2},]
e assim . Logo 
  divide simultaneamente 
  e 
 , mas isso contradiz 
 . Portanto não existe fração que represente 
 .
[p’p’=pq’^{2}\quad\Longrightarrow\quad p,q’{2}=p’{2}.]
Daqui
[p,q’{2}=p{2}k^{2}\quad\Rightarrow\quad q’{2}=p,k{2},]
e assim
Resposta
Concluímos que 
 , 
  e, de modo geral, 
  para 
  primo não são números racionais.