Um número
é racional quando existem
, com
tais que
. Por exemplo, todas as dízimas periódicas do exercício (1) são números racionais. Denotamos por
conjunto dos números racionais. Um número real que não é racional é dito irracional.
(a) Prove que
não é racional.
Dica: suponha que
é racional. Então existem
tais que
. É claro que podemos supor que
, isto é, que a fração
é irredutível (pense em
, por exemplo). Daí, elevando ao quadrado,
. E ficamos com
. Isto é,
é par e, portanto,
é par (use o exercício (2)). Isto é
, para algum
.
Lembrando ainda que
, segue que
. Daí
, seguindo que
é par, isto é,
, para algum
. Isto é,
e
. Mas isto contradiz o fato da fração
ser irredutível. Logo
não pode ser racional.
(b) Use a ideia acima para provar que
é irracional
© Generalise mais um pouco, provando que
não é racional, se
for um número primo.