Um número 
 é racional quando existem 
, com 
 tais que 
. Por exemplo, todas as dízimas periódicas do exercício (1) são números racionais. Denotamos por 
 conjunto dos números racionais. Um número real que não é racional é dito irracional.
(a) Prove que 
 não é racional.
 
Dica: suponha que 
 é racional. Então existem 
 tais que 
. É claro que podemos supor que 
, isto é, que a fração 
 é irredutível (pense em 
, por exemplo). Daí, elevando ao quadrado, 
. E ficamos com 
. Isto é, 
 é par e, portanto, 
 é par (use o exercício (2)). Isto é 
, para algum 
.
Lembrando ainda que 
, segue que 
. Daí 
, seguindo que 
 é par, isto é, 
, para algum 
. Isto é, 
 e 
. Mas isto contradiz o fato da fração 
 ser irredutível. Logo 
 não pode ser racional.
(b) Use a ideia acima para provar que 
 é irracional
© Generalise mais um pouco, provando que 
 não é racional, se 
 for um número primo.