Nos Problemas 31-34, z=x+i y. Expresse a quantidade dada em termos dos símbolos Re(z) e Im(z).

Passo 1

O enunciado pede para expressar Re(z^2) em termos de Re(z) e Im(z). O conteúdo envolve números complexos, expansão de potências e extração da parte real.

Passo 2

Escrevemos z como x + i y e calculamos z^2. Para isso usamos a fórmula de potência de binômio e a relação i^2=-1:
z^2 = (x + i y)^2 = x^2 + 2,i x y + i^2 y^2 = x^2 - y^2 + 2,i x y

Passo 3

A parte real de um número complexo alpha + i,beta é alpha. Na expressão acima, a parte real de z^2 é
Re(z^2) = x^2 - y^2

Passo 4

Como Re(z)=x e Im(z)=y, substituímos para obter
Re(z^2) = (Re(z))^2 - (Im(z))^2

Resposta

Re(z^2) = (Re(z))^2 - (Im(z))^2

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