Se o número 2 é uma raiz dupla do polinômio P(x)=x^4-4 x^3+3 x^2+4 x-4, então é correto afirmar que:
c) (x-2)^2 é um divisor desse polinômio.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^4-4x^3+3x^2+4x-4
e afirma que x=2 é raiz de multiplicidade 2. A partir disso, queremos mostrar que (x-2)^2 divide P(x).

Passo 2

Por definição, x=2 ser raiz dupla significa que
P(2)=0 e P'(2)=0
Sempre que uma raiz tem multiplicidade pelo menos 2, o fator (x-2)^2 divide o polinômio.

Passo 3

Vamos calcular
P(2)=2^4-4cdot2^3+3cdot2^2+4cdot2-4 =16-32+12+8-4=0,
e a derivada
P'(x)=4x^3-12x^2+6x+4,
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P'(2)=4cdot8-12cdot4+6cdot2+4 =32-48+12+4=0

Passo 4

Como P(2)=0 e P'(2)=0, concluímos que a raiz x=2 tem multiplicidade 2, ou seja,
(x-2)^2
é de fato um divisor de P(x).

Resposta

c) (x-2)^2 é um divisor de P(x).

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