3.) Se o número real a não é o limite da seqüência limitada \left(x_{n}\right), prove que alguma subseqüência de \left(x_{n}\right) converge para um limite b \neq a.
Passo 1
O enunciado diz que \bigl(x_n\bigr) é uma sequência real limitada e que o número real a não é o limite dessa sequência. Queremos mostrar que então existe alguma subsequência de \bigl(x_n\bigr) que converge para um número b\neq a. Vamos usar definição de convergência, a negação dessa definição e o Teorema de Bolzano–Weierstrass.
Passo 2
Como a não é o limite de \bigl(x_n\bigr), pela negação da definição de limite existe \epsilon>0 tal que, para todo N\in\mathbb{N}, existe n\ge N com
\bigl|x_n - a\bigr|\ge \epsilon.
Usando isso, podemos construir uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) que satisfaça sempre \bigl|x_{n_k}-a\bigr|\ge\epsilon. De fato, escolhemos:
— n_1 qualquer com \bigl|x_{n_1}-a\bigr|\ge\epsilon;
— supondo n_{k-1} definida, escolhemos n_k>n_{k-1} com \bigl|x_{n_k}-a\bigr|\ge\epsilon, o que é possível pela propriedade acima.
Passo 3
A subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) também é limitada, pois é parte de \bigl(x_n\bigr). Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa subsequência podemos extrair uma sub-subsequência convergente, digamos \bigl(x_{n_{k_j}}\bigr), e existe então
\lim_{j\to\infty} x_{n_{k_j}} = b
para algum b\in\mathbb{R}.
Passo 4
Como para todo j vale \bigl|x_{n_{k_j}} - a\bigr|\ge\epsilon, tomando limite j\to\infty obtemos