Um número real pode ter uma raiz n-ésima complexa. Pode um número complexo ter um raiz n-ésima real?

Passo 1

O enunciado pergunta se um número complexo pode ter pelo menos uma raiz n-ésima que seja real, sabendo que para números reais já podemos ter raízes n-ésimas complexas. Para resolver, vamos usar a fórmula geral das raízes n-ésimas de um número complexo. Se z for representado em forma polar como z = r,e^itheta, então suas raízes são dadas por
wk = r^1/n e^i(theta + 2kpi)/n,
para k = 0,1,dots,n-1.

Passo 2

Uma raiz wk será real se e somente se o argumento (theta + 2kpi)/n for um múltiplo inteiro de pi, pois assim e^i(theta + 2kpi)/n = pm1 e não gera parte imaginária. Portanto a condição é
theta + 2kpin = mpi,
com minZ. Isso implica que theta = m npi - 2kpi, ou seja, theta é múltiplo de pi. Logo, z deve estar sobre o eixo real.

Passo 3

Concluímos que um número complexo terá raiz n-ésima real somente se for de fato um número real (argumento 0 ou pi). Além disso, para n par, a base real deve ser não negativa (para obter raiz real), e para n ímpar qualquer real funciona.

Resposta

Um número complexo tem raiz n-ésima real se e somente se for real: se n for par, o número real deve ser >=0; se n for ímpar, basta ser real (positivo ou negativo).

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