Um número real pode ter uma raiz
-ésima complexa. Pode um número complexo ter um raiz
-ésima real?
Passo 1
O enunciado pergunta se um número complexo pode ter pelo menos uma raiz
-ésima que seja real, sabendo que para números reais já podemos ter raízes
-ésimas complexas. Para resolver, vamos usar a fórmula geral das raízes
-ésimas de um número complexo. Se
for representado em forma polar como
, então suas raízes são dadas por
para
.
Passo 2
Uma raiz
será real se e somente se o argumento
for um múltiplo inteiro de
, pois assim
e não gera parte imaginária. Portanto a condição é
com
. Isso implica que
, ou seja,
é múltiplo de
. Logo,
deve estar sobre o eixo real.
Passo 3
Concluímos que um número complexo terá raiz
-ésima real somente se for de fato um número real (argumento
ou
). Além disso, para
par, a base real deve ser não negativa (para obter raiz real), e para
ímpar qualquer real funciona.
Resposta
Um número complexo tem raiz
-ésima real se e somente se for real: se
for par, o número real deve ser
; se
for ímpar, basta ser real (positivo ou negativo).