O numero
tem uma expansão decimal infinita da forma
.
(a)Escreva o número
na forma de ponto flutuante usando o truncamento e o arredondamento para cinco algarismos.
(b) Calcule o erro absoluto e relativo do item (a)
(a)Escreva o número
(b) Calcule o erro absoluto e relativo do item (a)
Passo 1
O enunciado dá a expansão decimal do número
:
E pede duas coisas:
- (a) escrever
na forma de ponto flutuante usando truncamento e usando arredondamento para cinco algarismos; - (b) calcular, para cada aproximação do item (a), o erro absoluto e o erro relativo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expansão decimal inicial de
até alguns dígitos: . - O número de algarismos solicitado para a mantissa é cinco algarismos significativos.
Passo 2
Entendendo o que significa “forma de ponto flutuante com cinco algarismos” e a diferença entre truncamento e arredondamento.
- Forma de ponto flutuante (normalizada) significa escrever o número com um algarismo não nulo antes da vírgula decimal e a mantissa com o número pedido de algarismos significativos. No nosso caso já temos um algarismo não nulo antes da vírgula:
. Então uma representação normalizada com cinco algarismos significativos terá a forma
onde
são os dígitos significativos.
- Truncamento para cinco algarismos significa cortar a expansão depois do quinto algarismo significativo sem alterar o quinto dígito.
- Arredondamento para cinco algarismos significa olhar o sexto dígito significativo; se for maior ou igual a 5, aumenta o quinto dígito em 1; se for menor que 5, mantém o quinto dígito.
Passo 3
Aplicando truncamento e arredondamento aos cinco algarismos significativos de
.
A expansão de
começa com os dígitos (contando a partir do primeiro não nulo):
Os cinco primeiros dígitos significativos são
. Então:
- Truncamento (cinco algarismos): manter os cinco dígitos
e cortar o restante. A representação em ponto flutuante fica
- Arredondamento (cinco algarismos): olhar o sexto dígito significativo, que é
. Como , aumentamos o quinto dígito (que é ) em , obtendo . Assim:
Vou repetir de modo direto e prático: truncando dá
e arredondando dá
(ambos com expoente
).
Passo 4
Definir e explicar como calcular erro absoluto e erro relativo.
- Erro absoluto: diferença em valor absoluto entre a aproximação e o valor exato. Para uma aproximação
de um valor exato ,
- Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor absoluto do valor exato; mede o erro em proporção ao tamanho do número:
Aqui
é
(o valor real), e usaremos a expansão mais precisa conhecida de
para calcular os erros:
(é o valor real de
com mais casas para dar precisão nos cálculos dos erros).
Passo 5
Calcular o erro absoluto e o erro relativo para o truncamento.
Aproximação por truncamento:
Erro absoluto (truncamento):
Escrevendo com notação decimal:
Erro relativo (truncamento):
Ou em notação mais curta:
Passo 6
Calcular o erro absoluto e o erro relativo para o arredondamento.
Aproximação por arredondamento:
Erro absoluto (arredondamento):
Escrevendo:
Erro relativo (arredondamento):
Ou de forma arredondada:
Resposta
(a) Truncamento (5 algarismos):
.
(a) Arredondamento (5 algarismos): .
(a) Arredondamento (5 algarismos):
(b) Erros para truncamento: erro absoluto
, erro relativo
.
(b) Erros para arredondamento: erro absoluto , erro relativo
.
(b) Erros para arredondamento: erro absoluto