O numero e tem uma expansão decimal infinita da forma e=2,718281828 \ldots.
(a)Escreva o número e na forma de ponto flutuante usando o truncamento e o arredondamento para cinco algarismos.
(b) Calcule o erro absoluto e relativo do item (a)

Passo 1

O enunciado dá a expansão decimal do número e:
e = 2,718281828\ldots
E pede duas coisas:
  • (a) escrever e na forma de ponto flutuante usando truncamento e usando arredondamento para cinco algarismos;
  • (b) calcular, para cada aproximação do item (a), o erro absoluto e o erro relativo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expansão decimal inicial de e até alguns dígitos: 2,718281828\ldots.
  • O número de algarismos solicitado para a mantissa é cinco algarismos significativos.

Passo 2

Entendendo o que significa “forma de ponto flutuante com cinco algarismos” e a diferença entre truncamento e arredondamento.
  • Forma de ponto flutuante (normalizada) significa escrever o número com um algarismo não nulo antes da vírgula decimal e a mantissa com o número pedido de algarismos significativos. No nosso caso já temos um algarismo não nulo antes da vírgula: 2,\ldots. Então uma representação normalizada com cinco algarismos significativos terá a forma
\tilde e = d_1,d_2d_3d_4d_5 \times 10^{0},
onde d_1,d_2,\dots são os dígitos significativos.
  • Truncamento para cinco algarismos significa cortar a expansão depois do quinto algarismo significativo sem alterar o quinto dígito.
  • Arredondamento para cinco algarismos significa olhar o sexto dígito significativo; se for maior ou igual a 5, aumenta o quinto dígito em 1; se for menor que 5, mantém o quinto dígito.

Passo 3

Aplicando truncamento e arredondamento aos cinco algarismos significativos de e.
A expansão de e começa com os dígitos (contando a partir do primeiro não nulo):
2,\;7,\;1,\;8,\;2,\;8,\;1,\;8,\ldots
Os cinco primeiros dígitos significativos são 2,7,1,8,2. Então:
  • Truncamento (cinco algarismos): manter os cinco dígitos 2,7,1,8,2 e cortar o restante. A representação em ponto flutuante fica
\tilde e_{\text{trunc}} = 2,7182\times 10^{0}.
  • Arredondamento (cinco algarismos): olhar o sexto dígito significativo, que é 8. Como 8\ge 5, aumentamos o quinto dígito (que é 2) em 1, obtendo 3. Assim:
\tilde e_{\text{round}} = 2,7183\times 10^{0}.
Vou repetir de modo direto e prático: truncando dá 2,7182 e arredondando dá 2,7183 (ambos com expoente 10^{0}).

Passo 4

Definir e explicar como calcular erro absoluto e erro relativo.
  • Erro absoluto: diferença em valor absoluto entre a aproximação e o valor exato. Para uma aproximação \tilde x de um valor exato x,
\text{erro absoluto} = \left|\tilde x - x\right|.
  • Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor absoluto do valor exato; mede o erro em proporção ao tamanho do número:
\text{erro relativo} = \frac{\left|\tilde x - x\right|}{|x|}.
Aqui x é e (o valor real), e usaremos a expansão mais precisa conhecida de e para calcular os erros:
e \approx 2,718281828459045\ldots
(é o valor real de e com mais casas para dar precisão nos cálculos dos erros).

Passo 5

Calcular o erro absoluto e o erro relativo para o truncamento.
Aproximação por truncamento:
\tilde e_{\text{trunc}} = 2,7182.
Erro absoluto (truncamento):
\begin{aligned} \text{erro}_{\text{abs, trunc}} &= \left| \tilde e_{\text{trunc}} - e \right| = \left| 2,7182 - 2,718281828459045\ldots \right| \\\ &= 0,000081828459045\ldots \end{aligned}
Escrevendo com notação decimal:
\text{erro}_{\text{abs, trunc}} \approx 0,000081828459045.
Erro relativo (truncamento):
\begin{aligned} \text{erro}_{\text{rel, trunc}} &= \frac{\text{erro}_{\text{abs, trunc}}}{e} = \frac{0,000081828459045\ldots}{2,718281828459045\ldots} \\\ &\approx 0,0000301028282336\ldots \end{aligned}
Ou em notação mais curta:
\text{erro}_{\text{rel, trunc}} \approx 0,0000301028.

Passo 6

Calcular o erro absoluto e o erro relativo para o arredondamento.
Aproximação por arredondamento:
\tilde e_{\text{round}} = 2,7183.
Erro absoluto (arredondamento):
\begin{aligned} \text{erro}_{\text{abs, round}} &= \left| \tilde e_{\text{round}} - e \right| = \left| 2,7183 - 2,718281828459045\ldots \right| \\\ &= 0,0000181715409549\ldots \end{aligned}
Escrevendo:
\text{erro}_{\text{abs, round}} \approx 0,0000181715409549.
Erro relativo (arredondamento):
\begin{aligned} \text{erro}_{\text{rel, round}} &= \frac{\text{erro}_{\text{abs, round}}}{e} = \frac{0,0000181715409549\ldots}{2,718281828459045\ldots} \\\ &\approx 0,0000066848461701\ldots \end{aligned}
Ou de forma arredondada:
\text{erro}_{\text{rel, round}} \approx 0,00000668485.

Resposta

(a) Truncamento (5 algarismos): \tilde e_{\text{trunc}} = 2,7182\times10^{0}.
(a) Arredondamento (5 algarismos): \tilde e_{\text{round}} = 2,7183\times10^{0}.
(b) Erros para truncamento: erro absoluto \approx 0,000081828459045, erro relativo \approx 0,0000301028282336.
(b) Erros para arredondamento: erro absoluto \approx 0,0000181715409549, erro relativo \approx 0,0000066848461701.

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