(a) O método de eliminação Gaussiana SEM pivoteamento pode ser utilizado para resolver o sistema linear A x=b ? Justifique a sua resposta. [ 0.5 pt ]
(b) Utilize o método de eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial para resolver o sistema linear A x=b. As operações elementares devem ser efetuadas na matriz aumentada. [ 0.75 pt ]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Matriz dos coeficientes e vetor termo- independente:
Perguntas:
(a) Pode-se aplicar o método de eliminação Gaussiana SEM pivoteamento para resolver A x = b? Justificar.
(b) Resolver A x=b usando eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial, efetuando as operações na matriz aumentada.
Passo 2
Breve explicação didática (o que é necessário entender antes de aplicar).
Eliminação Gaussiana transforma o sistema em triangular superior aplicando operações elementares nas linhas (multiplicar linha por escalar diferente de zero, trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra). Depois faz-se substituição regressiva.
Pivô: em cada etapa o elemento da diagonal na linha corrente é usado para eliminar abaixo dele. Se esse elemento (o pivô) for zero, não se pode dividir por ele — problema direto.
Pivoteamento parcial: antes de eliminar numa coluna, troca-se a linha corrente com alguma linha abaixo que tenha o maior valor absoluto naquela coluna. Objetivos: evitar divisão por zero e melhorar estabilidade numérica.
Conclusão prática: se durante a eliminação sem trocas aparece um pivô igual a zero, a eliminação sem pivoteamento não é praticável (pelo menos sem trocar linhas).
Passo 3
Tentar eliminação SEM pivoteamento e ver se ocorre problema (efetuando operações na matriz aumentada).
Matriz aumentada inicial:
Agora o segundo pivô (na posição (2,2)) seria a_{22}=0. Isso é um pivô nulo: não se pode dividir por zero para eliminar abaixo. Portanto a eliminação SEM pivoteamento trava aqui.
Conclusão intermediária (resposta a (a) — justificativa completa foi feita acima): o método SEM pivoteamento não pode ser aplicado diretamente porque após a primeira etapa aparece a_{22}=0 (pivô zero), impedindo a continuação.]
Passo 4
Aplicar eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial (operando na matriz aumentada passo a passo).
Etapa 1 (coluna 1): escolher entre as linhas 1 a 3 o maior valor absoluto em coluna 1. Os valores absolutos são |-2|=2,\\ |4|=4,\\ |-2|=2. O maior é 4 na linha 2. Logo fazemos a troca R_1\leftrightarrow R_2.
Etapa 2 (coluna 2): escolhemos pivô entre as linhas 2 e 3 na coluna 2. Os valores absolutos são |0|=0,\\ |1|=1. O maior é 1 na linha 3, então trocamos R_2\leftrightarrow R_3.
Agora o pivô a_{22}=1 é bom. Eliminação abaixo de a_{22}: o elemento abaixo já é zero (a_{32}=0), logo não precisa operar. Fim da fase de eliminação: já temos matriz triangular superior.]
Passo 5
Substituição regressiva (resolver a partir da última linha).