Considere o sistema linear seguinte:
A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 5 \\\\ 4 & -4 & -5 \\\\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l} 4 \\\\ 3 \\\\ 0 \end{array}\right)
(a) O método de eliminação Gaussiana SEM pivoteamento pode ser utilizado para resolver o sistema linear A x=b ? Justifique a sua resposta. [ 0.5 pt ]
(b) Utilize o método de eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial para resolver o sistema linear A x=b. As operações elementares devem ser efetuadas na matriz aumentada. [ 0.75 pt ]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Matriz dos coeficientes e vetor termo- independente:
A=\begin{pmatrix} -2 & 2 & 5 \\\\ 4 & -4 & -5 \\\\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Perguntas:
    (a) Pode-se aplicar o método de eliminação Gaussiana SEM pivoteamento para resolver A x = b? Justificar.
    (b) Resolver A x=b usando eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial, efetuando as operações na matriz aumentada.

Passo 2

Breve explicação didática (o que é necessário entender antes de aplicar).
  • Eliminação Gaussiana transforma o sistema em triangular superior aplicando operações elementares nas linhas (multiplicar linha por escalar diferente de zero, trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra). Depois faz-se substituição regressiva.
  • Pivô: em cada etapa o elemento da diagonal na linha corrente é usado para eliminar abaixo dele. Se esse elemento (o pivô) for zero, não se pode dividir por ele — problema direto.
  • Pivoteamento parcial: antes de eliminar numa coluna, troca-se a linha corrente com alguma linha abaixo que tenha o maior valor absoluto naquela coluna. Objetivos: evitar divisão por zero e melhorar estabilidade numérica.
  • Conclusão prática: se durante a eliminação sem trocas aparece um pivô igual a zero, a eliminação sem pivoteamento não é praticável (pelo menos sem trocar linhas).

Passo 3

Tentar eliminação SEM pivoteamento e ver se ocorre problema (efetuando operações na matriz aumentada).
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 5 & 4\\[4pt] 4 & -4 & -5 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right]
  1. Primeiro pivô seria a_{11}=-2, que é diferente de zero, então dá para eliminar a coluna 1 sem trocar linhas:
  • Multiplicadores: m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{4}{-2}=-2,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-2}{-2}=1.
  • Operações: R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 -(-2)R_1 = R_2 + 2R_1,
R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1 = R_3 -1\cdot R_1.
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 11\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -4 \end{array}\right]
  1. Agora o segundo pivô (na posição (2,2)) seria a_{22}=0. Isso é um pivô nulo: não se pode dividir por zero para eliminar abaixo. Portanto a eliminação SEM pivoteamento trava aqui.
Conclusão intermediária (resposta a (a) — justificativa completa foi feita acima): o método SEM pivoteamento não pode ser aplicado diretamente porque após a primeira etapa aparece a_{22}=0 (pivô zero), impedindo a continuação.]

Passo 4

Aplicar eliminação Gaussiana COM pivoteamento parcial (operando na matriz aumentada passo a passo).
Matriz aumentada inicial (repetindo):
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 5 & 4\\[4pt] 4 & -4 & -5 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right]
Etapa 1 (coluna 1): escolher entre as linhas 1 a 3 o maior valor absoluto em coluna 1. Os valores absolutos são |-2|=2,\\ |4|=4,\\ |-2|=2. O maior é 4 na linha 2. Logo fazemos a troca R_1\leftrightarrow R_2.
Após troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & -5 & 3\\[4pt] -2 & 2 & 5 & 4\\[4pt] -2 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right]
Agora pivot a_{11}=4. Calcular multiplicadores e eliminar abaixo:
m_{21}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2},\qquad m_{31}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.
Operações:
R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 + \tfrac{1}{2}R_1, \qquad R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1 = R_3 + \tfrac{1}{2}R_1.
Calculemos linha a linha:
  • Para R_2:
    R_2 = \bigl[-2,\,2,\,5 \,\bigm|\,4\bigr] + \tfrac{1}{2}\bigl[4,\,-4,-5 \,\bigm|\,3\bigr] = \bigl[0,\,0,\,\tfrac{5}{2}\,\bigm|\,\tfrac{11}{2}\bigr].
  • Para R_3:
    R_3 = \bigl[-2,\,3,\,2 \,\bigm|\,0\bigr] + \tfrac{1}{2}\bigl[4,\,-4,-5 \,\bigm|\,3\bigr] = \bigl[0,\,1,\,-\tfrac{1}{2}\,\bigm|\,\tfrac{3}{2}\bigr].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & -5 & 3\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} \end{array}\right]
Etapa 2 (coluna 2): escolhemos pivô entre as linhas 2 e 3 na coluna 2. Os valores absolutos são |0|=0,\\ |1|=1. O maior é 1 na linha 3, então trocamos R_2\leftrightarrow R_3.
Após troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & -5 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{11}{2} \end{array}\right]
Agora o pivô a_{22}=1 é bom. Eliminação abaixo de a_{22}: o elemento abaixo já é zero ( a_{32}=0), logo não precisa operar. Fim da fase de eliminação: já temos matriz triangular superior.]

Passo 5

Substituição regressiva (resolver a partir da última linha).
Sistema correspondente às linhas finais:
  • Linha 3:
    \tfrac{5}{2}\,x_3=\tfrac{11}{2}.
    Assim
    x_3=\frac{\tfrac{11}{2}}{\tfrac{5}{2}}=\frac{11}{5}.
  • Linha 2:
    1\cdot x_2 -\tfrac{1}{2}x_3 = \tfrac{3}{2}.
    Isolando x_2:
    x_2=\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}x_3 =\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{11}{5} =\tfrac{3}{2}+\tfrac{11}{10} =\frac{15}{10}+\frac{11}{10}=\frac{26}{10}=\frac{13}{5}.
  • Linha 1:
    4x_1 -4x_2 -5x_3 = 3.
    Isolando x_1:
    4x_1 = 3 + 4x_2 +5x_3.
    Substituindo x_2=\tfrac{13}{5} e x_3=\tfrac{11}{5}:
    4x_1 = 3 + 4\cdot\frac{13}{5} + 5\cdot\frac{11}{5} = 3 + \frac{52}{5} + 11 = \frac{15}{5} + \frac{52}{5} + \frac{55}{5} = \frac{122}{5}.
    Portanto
    x_1 = \frac{\tfrac{122}{5}}{4} = \frac{122}{20} = \frac{61}{10}.
Solução encontrada:
x_1=\frac{61}{10},\qquad x_2=\frac{13}{5},\qquad x_3=\frac{11}{5}.

Resposta

(a) Não. O método SEM pivoteamento trava porque após a primeira etapa o pivô a_{22} torna-se 0, impedindo a continuação.
(b) \displaystyle x=\begin{pmatrix}\tfrac{61}{10}\\[4pt]\tfrac{13}{5}\\[4pt]\tfrac{11}{5}\end{pmatrix}]

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