Suponha que o número de pessoas que chegam em uma estação de trem em qualquer instante
seja uma variável aleatória de Poisson com média
. Se o primeiro trem chega na estação em um instante de tempo que é uniformemente distribuído ao longo de
e independente do instante de chegada dos passageiros, quais são a média e a variância do número de passageiros que entram no trem?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estação de trem onde o número de pessoas que chegam em qualquer instante de tempo $ t $ segue uma distribuição de Poisson com média $ \lambda t $. Além disso, o primeiro trem chega na estação em um tempo que é distribuído de forma uniforme no intervalo
e é independente das chegadas dos passageiros. Nossa missão é descobrir qual é a média e a variância do número de passageiros que entram nesse trem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. No nosso caso, a taxa média é $ \lambda t $, onde $ \lambda $ é a taxa de chegada de passageiros por unidade de tempo.
Passo 3
Agora, sabemos que o trem chega em um tempo $ S $ que é uniformemente distribuído no intervalo
. Isso significa que todas as instantes de chegada do trem têm a mesma probabilidade dentro desse intervalo. A variável $ S $ representa o tempo até a chegada do trem.
Passo 4
Queremos encontrar o número de passageiros que chegam até o tempo $ S $. Dado $ S $, o número de passageiros $ N $ que chegam até esse tempo segue uma distribuição de Poisson com média $ \lambda S $, ou seja:
Passo 5
Para encontrar a média de $ N $, usamos a propriedade da esperança condicional:
Como $ S $ é uniformemente distribuído em
, a média de $ S $ é:
Portanto:
Passo 6
Para encontrar a variância de $ N $, usamos a fórmula da variância total:
Sabemos que para uma distribuição de Poisson:
E já calculamos:
Então:
E:
Como $ S $ é uniforme em
, a variância de $ S $ é:
Portanto:
Agora, somando as duas partes:
Resposta
A média do número de passageiros que entram no trem é $ \frac{\lambda T}{2} $ e a variância é $ \frac{\lambda T}{2} + \frac{\lambda^2 T^2}{12} $.