Suponha que o número de pessoas que chegam em uma estação de trem em qualquer instante t seja uma variável aleatória de Poisson com média lambda t. Se o primeiro trem chega na estação em um instante de tempo que é uniformemente distribuído ao longo de (0, T) e independente do instante de chegada dos passageiros, quais são a média e a variância do número de passageiros que entram no trem?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estação de trem onde o número de pessoas que chegam em qualquer instante de tempo $ t $ segue uma distribuição de Poisson com média $ \lambda t $. Além disso, o primeiro trem chega na estação em um tempo que é distribuído de forma uniforme no intervalo t e é independente das chegadas dos passageiros. Nossa missão é descobrir qual é a média e a variância do número de passageiros que entram nesse trem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. No nosso caso, a taxa média é $ \lambda t $, onde $ \lambda $ é a taxa de chegada de passageiros por unidade de tempo.

Passo 3

Agora, sabemos que o trem chega em um tempo $ S $ que é uniformemente distribuído no intervalo S . Isso significa que todas as instantes de chegada do trem têm a mesma probabilidade dentro desse intervalo. A variável $ S $ representa o tempo até a chegada do trem.

Passo 4

Queremos encontrar o número de passageiros que chegam até o tempo $ S $. Dado $ S $, o número de passageiros $ N $ que chegam até esse tempo segue uma distribuição de Poisson com média $ \lambda S $, ou seja:
S

Passo 5

Para encontrar a média de $ N $, usamos a propriedade da esperança condicional:
N
Como $ S $ é uniformemente distribuído em E[N] = E[E[N | S]] = E[lambda S] = lambda E[S] , a média de $ S $ é:
S
Portanto:
(0, T)

Passo 6

Para encontrar a variância de $ N $, usamos a fórmula da variância total:
N
Sabemos que para uma distribuição de Poisson:
Var(N) = E[Var(N | S)] + Var(E[N | S])
E já calculamos:
Var(N | S) = lambda S
Então:
E[N | S] = lambda S
E:
E[Var(N | S)] = E[lambda S] = lambda cdot T2
Como $ S $ é uniforme em Var(E[N | S]) = Var(lambda S) = lambda^2 cdot Var(S) , a variância de $ S $ é:
S
Portanto:
(0, T)
Agora, somando as duas partes:
S

Resposta

A média do número de passageiros que entram no trem é $ \frac{\lambda T}{2} $ e a variância é $ \frac{\lambda T}{2} + \frac{\lambda^2 T^2}{12} $.

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