Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida T (em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
f(t)=e^-t, t>0
(d) Determine a variância de T.

Passo 1

Vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística envolvendo a vida útil de um mecanismo eletrônico. A função densidade de probabilidade dada é $ f(t) = e^{-t} $ para $ t > 0 $. O que precisamos descobrir é a variância de $ T $, que representa o tempo de vida desse mecanismo em milhares de horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial, que é o que essa função densidade representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a esperança matemática ou valor esperado de $ T $, que denotamos por $ E[T] $. Para uma distribuição exponencial com função densidade $ f(t) = \lambda e^{-\lambda t} $, o valor esperado é dado por:
T
No nosso caso, comparando com $ f(t) = e^{-t} $, vemos que $ \lambda = 1 $. Então,
E[T]
Isso significa que, em média, o mecanismo funciona por $ 1.000 $ horas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado do quadrado de $ T $, ou seja, $ E[T^2] $. Para a distribuição exponencial, esse valor é dado por:
T
Substituindo $ \lambda = 1 $:
E[T^2]

Passo 4

Com $ E[T] $ e $ E[T^2] $ em mãos, podemos calcular a variância de $ T $ usando a fórmula:
E[T]
Substituindo os valores que encontramos:
E[T^2]

Resposta

A variância de $ T $ é igual a $ 1 $ (em $ 1.000 $ horas ao quadrado).

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