Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida
(em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
(d) Determine a variância de
.
Passo 1
Vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística envolvendo a vida útil de um mecanismo eletrônico. A função densidade de probabilidade dada é $ f(t) = e^{-t} $ para $ t > 0 $. O que precisamos descobrir é a variância de $ T $, que representa o tempo de vida desse mecanismo em milhares de horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial, que é o que essa função densidade representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a esperança matemática ou valor esperado de $ T $, que denotamos por $ E[T] $. Para uma distribuição exponencial com função densidade $ f(t) = \lambda e^{-\lambda t} $, o valor esperado é dado por:
No nosso caso, comparando com $ f(t) = e^{-t} $, vemos que $ \lambda = 1 $. Então,
Isso significa que, em média, o mecanismo funciona por $ 1.000 $ horas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado do quadrado de $ T $, ou seja, $ E[T^2] $. Para a distribuição exponencial, esse valor é dado por:
Substituindo $ \lambda = 1 $:
Passo 4
Com $ E[T] $ e $ E[T^2] $ em mãos, podemos calcular a variância de $ T $ usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A variância de $ T $ é igual a $ 1 $ (em $ 1.000 $ horas ao quadrado).